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Niveau Licence Maths 1e ann
Différence entre fonction holomorphe et C 1
Posté par Axel24
Bonsoir,
En relisant mon cours d'analyse complexe, je me suis rendu compte que le principe du prolongement analytique ne fonctionnait pas toujours pour les fonctions C Infini.
Or le principe fonctionne pour les fonctions holomorphe ( puisque analytiques)
Dans la définition d'une fonction holomorphe, on a que cette fonction doit être dérivable, ce qui me semble bien "moins fort" que C Infini).
Donc je ne comprend pas la différence entre C Infini et holomorphe, plus particulièrement C1 et holomorphe...
( je comprend pourtant le contre-exemple d'une fonction C infini et pas holomorphe ( exp (-x²/2) sur les postifs, et nul sinon).
Merci de m'éclairer sur la différence !
Ne pas confondre : fonction dérivable d'une variable complexe z=x+iy, et fonction C^\infty de deux variables réelles x,y.
une fonction est holomorphe lorsque sa differentielle est 
-linéaire alors que qu'on peut etre juste differentiable et là la differentielle est 
-linéaire et pas forcement -linéaire
donc il peut avoir une f: R²-> C C infini , dans quel cas le prolongement
(x,y)-> U(x,y)+i V(x,y)
analytique ne marche pas nécessairement.
Mais si f : C -> C
z -> f(z) est dérivable alors elle holomorphe (donc analytique).
le deuxième cas on l'obtient si les dérivée partielles par rapport aux partie réelles et imaginaires satisfont Cauchy... C'est ca?
Merci bien