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différentiable
Bonjour à tous,
je dois répondre par oui ou par non aux questions suivantes et justifier la réponse par une démonstration, l'utilisation précise d'un énoncé du cours, de sa courte démonstration, ou un contre-exemple suivant les cas.
1/ La fonction f:
2
définie par f(x,y)=0 si |x|>|y|, et f(x,y)=1 sinon, est-elle différentiable en (0,0)?
2/ La fonction f:2 définie par f(x,y)=0 si |x|>|y|, et f(x,y)=1 sinon, possède-t-elle des dérivées partielles en (0,0)?
3/ Soit f une fonction différentiable de 2 dans . La dérivée directionelle Du(f)(0,0) de f le long de u=(1,2) en (0,0) est égale à 2, calculer D2u(f)(0,0).
4/ Soit f:2 une fonction différentiable en (0,0) avec grad(0,0)f=(4,2). Calculer la dérivée directionelle Du(f)(0,0) le long de u=(1,3).
5/ j'ai réussi
6/ Soient f:2 et g:2 deux fonctions différentiables. Est-ce que f(g(x,y),y) est différentiable? Si la réponse est oui, calculer la dérivée 
f(g(x,y),y)/y en fonction des dérivées partielles de f et g.
7/ Soient f:2 et g:2 deux fonctions différentiables. Est-ce que f(g(x,y),y+x) est différentiable? Si la réponse est oui, calculer la dérivée f(g(x,y),y+x)/y en fonction des dérivées partielles de f et g.
8/ j'ai réussi
9/ j'ai réussi
10/ Soit f une application linéaire de n dans n. Est-elle différentiable en tous points de n ?
11/ Soit
M= 1 2
0 3
existe-t-il une fonction f:2 de classe C2 dont M est la matrice dérivées secondes au point (0,1)?
12/ Soit
M= 3 2
2 3
existe-t-il une fonction f:2 de classe C2 dont M est la matrice dérivées secondes au point (2,3)?
13/ Une fonction différentiable en a est-elle continue en a?
14/ Soit f une fonction de 2p de classe C1 dont la différentielle est nulle en tous points, est-elle constante?
15/ Soit f une fonction de 2 de classe C2 dont la différentielle est nulle en tous points, est-elle constante?
16/ La suite {cn}n
définie cn=n est-elle la suite de coefficients de Fourier d'une fonction continue périodique?
17/ La suite {cn}n définie c0=1 et cn=0 sinon est-elle la suite de coefficients de Fourier d'une fonction continue T-périodique?
18/ Soit f une fonction C1 de dans et f' sa dérivée a-t-on ck(f)=ikck(f')?
19/ Soit f une fonction C1 de dans et f' sa dérivée a-t-on ck(f')=ikck(f)?
1,2,3 et 4calculatoires et pas difficiles.
6 c'est une question de cours.
7 pareil que la 6, et se fait dans la foulée.
10 et 13 trivials, ce sont des applications directes de la définition de différentiabilité.
11 et 12: questions de cours, application directe d'un théorème. (recherche ceux ou la fonction doit etre C2)
Les questions 13 et 14 sont un peu plus compliquées, essaie de regarder du coté des théorèmes ou les hypothèses parlent d'un ensemble connexe par arcs, convexe, ou alors ou il est question d'un intervalle dans R^p.
16: application directe du cours.
17: triviale
18, 19, utilise les théorèmes de dérivation, et calcule toi même.
Connais tu ton cours?
Bonne chance,
a+
je connais mon cours plus ou moins mais c'est surtout qu'il n'est pas très clair !! et faut dire que je ne comprends rien du tout
pour la 1/ je sais qu'il faut que les dérivées partielles soient continue en (O,0) mais en fait je ne sais pas ce qu'il faut dériver
pour la 2/ dans mon cours il n'y a pas de condition sur les dérivées partielles en 1 point
pour la 3/ j'avoue que je ne sais pas du tout si tu pouvais m'aider un peu plus stp
pour la 6/ et la 7/ dans mon esprit c'était logique qu'il y en ai une vrai et l'autre fausse et je ne vois pas pourquoi l'une des deux serait fausse
pour la 11/ et la 12/ je n'ai pas de théorème où la fonction doit être C2
pour la 16/ je te crois sur parole le problème c'est qu'on a pas commencé le cours sur les séries de Fourier
pour la 17/ pareil
pour la 18/ et 19/ je ne sais ce que ça veut dire : ck(f)=ikck(f') on a jamais vu ça !
Pour le 1 c'est faux, c'est suffisant mais non nécessaire...
Regarde ce qui se passe lorsque tu calcules:
f(0,1/n)
f(1/n,0)
Pour la 2, il suffit de regarder la dérivabilité des fonctions
fx=f(x,0) et fy=f(0,y)
6 et 7 regarde ton cours sur la continuité des fonctions différentiables.
11 et 12 : théorème de Schwarz
16: pas besoin de cours sur les séries de Fourier, il suffit juste de savoir que toute fonction f suffisament propre (mesurable) admet une série de Fourier , et que cette série converge vers elle sous certaines hypothèses:
une hypothèse simple est que la fonction est C1 par morceaux et que les dérivées à gauche et à droite existent partout.
Dans ce cas la série de fourier
S(x)= somme des cn*exp(inx) converge vers f pour n dans Z.
Les questions 18 et 19 reprennent les notations précédentes,
ck(f) c'est le k-ième coefficient de Fourier de f.
Bonjour,
Je m'incruste...
Pour la question 13), c'est direct d'après la définition d'une fonction f différentiable en a: f(a+h)= ...
Et fait tendre h vers 0 en n'oubliant pas que toute application linéaire de E dans F est continue si E et F de dim finies.
Pour la question 15), théorème du cours, c'est vrai si ]
est un ouvert convexe. Alors?
Pour la 14), je ne sais pas si ça change avec 
.
Pour la question 18,19), une ptite intégration par parties et c'est gagné. (18 FAUX, 19 VRAI)
Pac
je crois que j'ai compris pour la 11 et la 12 :
pour la 11/, il n'existe pas de fonction ainsi car d'après le théorème de Schwarz la matrice devrait être symétrique
(c'est ça???)
pour la 12/, je pense qu'il en existe une vu que la matrice est symétrique mais je dois surement donner un ex de fonction de ce type et je ne sais pas si c'est possible en tout cas je ne sais pas comment faire
pour la 1/ j'ai regardé f(0,1/n)=1 et f(1/n,0)=0 et je sais pas ce que ça fait, si chaque fonction est cte elle est différentiable en (0,0), non?
"il n'existe pas de fonction ainsi car d'après le théorème de Schwarz la matrice devrait être symétrique"
Quelles sont les hypothèses de ce théorème?
Soit f une application de classe C2 d'un ouvert U de n, à valeurs dans . Alors pour tous indices j
k on a :
2f/xjxk(M)=2f/xkxj(M) en tout point M de U.
"pour la 1/ j'ai regardé f(0,1/n)=1 et f(1/n,0)=0 et je sais pas ce que ça fait, si chaque fonction est cte elle est différentiable en (0,0), non?"
Je crois que tu ne comprends rien à ce que tu fais, et qu'en plus tu ne connais pas ton cours, et tu viens de me le prouver en citant le théorème de Schwarz, qui a pour seule hypothèse la donnée d'une fonction réelle C².
Si tu ne maitrises pas ton cours, c'est clair que:
1-Tu ne comprends rien de ce que tu fais.
2-Tu ne sais rien faire.
Relis ton cours, et si tu ne le comprends pas, je t'aiderai, mais ne pose pas de question si tu connais pas ton cours.
Bonne chance.
A+
Pour la 12, essaie de poser un polynôme du second degré homogène:
f(x,y)=ax²+bxy+cy²
Tu as
d²f/dx²=2a
d²f/dy²=2c
d²f/dxdy=d²f/dxdy=b
Sauf erreur.
oui je ne comprends rien mais premièrement je conai mon cours deuxièmement je ne peu pas inventé des théorèmes que je n'ai pas vu en cours, donc je découvre le th de Schawrz !! cela dit je pense que j'ai compris cette question en particulier la seule hypothèse est que la fonction réelle est C2 or elle l'est dans ma question donc on devrait avoir l'égalité donc la matrice Hessienne devrait être symétrique or ce n'est pas le cas donc il ne peut pas exister de fonction ainsi
"cela dit je pense que j'ai compris cette question en particulier la seule hypothèse est que la fonction réelle est C2 or elle l'est dans ma question donc on devrait avoir l'égalité donc la matrice Hessienne devrait être symétrique or ce n'est pas le cas donc il ne peut pas exister de fonction ainsi"
Exactement.
A l'inverse, lorsque tu as une matrice symétrique, tu peux te demander s'il existe une fonction de classe C² dont ta matrice est la Hessienne.
Je pense que la réponse est clairement oui, et ca doit se résoudre par un petit système, notamment en posant f=polynôme.
rebonjour à tous,
je crois avoir trouvé un exemple de fonction pour la 12 mais j'aimerai une confirmation svp :f(x,y)=3/2x²+3/2y²+1/3xy²
merci encore à ceux qui m'aident
bjr!
je m'incruste!
pour la 1) je trouve donc f(0, 1/n) = 1
f(1/n, 0) = 0
or lim f(0, 1/n) = lim f(0,0)
= 1
et lim f(1/n, 0) = lim f(0,0)
= 0
donc il ya problème et donc c'est faux
c'est cela ?
salut mauricette,
je ne comprends pas pourquoi ça pose un problème que les limites soient égales !!! peux tu m'expliquer stp
en fait le problème c'est qu'on a deux limites différentes, non??
je ne comprends vraiment rien
ba c'est pas continu donc pas différentiable en (0,0)
c'est tout ce qu'il faut faire??
pour la 12/ j'ai dit des bétises tout à l'heure, je crois avoir trouvé un exemple de fonction mais j'aimerai une confirmation svp : f(x,y)=3/2x²+3/2y²+2xy
Bjr,
ah bah on a déjà répondu à ma palce!
pour la 3 et la 4, je vois bien que c'est calculatoire, mais mon pb, c que ds mon cours, j'ai chercher partout, nul part on nous parle de dérivée directionnelle ...
c'est quoi ? 
Salut,
lorsque l'on calcule une différentielle, on calcule un vecteur tangeant à notre courbe.
Notamment on a
Df=(df/dx1,df/dx2,...,df/dxn)
df/dxi c'est la dérivée partielle par rapport à xi, en fait c'est la quantité de variation selon une direction donnée, dans ce cas précis, la i-ème direction.
Lorsque l'on calcule une dérivée directionnelle, on veut connaître la variation selon une seule direction, ca peut être la 1e, la 2e, ..., la n-ième, ou autre chose.
En fait, on peut montrer (non trivial) que autre chose c'est forcément une combinaison linéaire des n directions.
Donc quelque chose du type
a1x1+a2x2+...+anxn
C'est à dire que (dx1,dx2,...,dxn) est une "base" des directions possibles (un peu réducteur mais l'idée est celle ci).
On peut donc chercher la dérivée selon x1, selon x2 etc, mais aussi selon u=x1+x2+3x4 par exemple.
On montre que celà revient en fait à calculer le produit scalaire du gradient de f et de u.
Dans cet exemple, calculer la dérivée directionnelle par rapport à u, c'est calculer df.u
Voilà, je pense que c'est facile de répondre à votre question à présent,
bonne chance.
A+
je crois avoir compris le principe de la dérivée directionnelle, enfin à peu près car là pour la 3/ je ne sais pas comment l'appliquer !!
pour la 4/ si j'ai bien compris il suffit de faire le produit scalaire de (4,2) et (1,3) ce qui ferait donc 10, ça me parait un peu simple comme truc, c'est ça??
Bein tu trouves ca simple mais t'as l'air de pas réussir l'autre, donc c'est que c'est pas si simple.
ba non je n'arrive pas la 3/ car on a pas grad f
pour la 4/ c'est bon ce que j'ai fait alors??
donc pour la 3/ je serais tenté de faire simplement 2*dérivée directionnelle Du(f)(0,0) donc 2*2
c'est bon ??
Essaie de te convaincre de la véracité de ton calcul.
Pourquoi ce serait vrai?
Revient à la définition.
Sauf erreur de ma part, la 4e est juste.
bah en fait j'ai posé grad f=(x,y) donc on a 1*x+2*y=2 pour u=(1,2)
si on prend 2u on calcule 2*x+4*y=2*(1*x+2*y)=2*2=4
ça me semmble bon mais j'aimerai bien confirmation stp
Salut,
en fait le produit scalaire est linéaire
gradf.2u=2gradf.u
Si tu connais gradf.u tu connais donc tous les k*gradf.u
En fait si tu as n vecteurs u1,u2,...,un et que tu connais les
gradf.u1, gradf.u2, ..., gradf.un
Tu connais toutes les dérivées directionnelles possibles.
A+
Mauricette t'as réussit la 2/ ?? car moi je me doute que cè oui mais je ne sais pas comment le montrer
kikou,
ben pour la 2 j'ai juste dit que f(x,0) = 0 qui est dérivable
et que f(0,y) = 1 qui est dérivable aussi, donc la fct° possède des dérivées partielles en (0?0)
mais c pt faux!
Pour la 5 j'ai vu que tu avait trouvé, moi je trouve
f(x,y) = 1 - x + 3xy + ||u||
(u) avec (u) --> 0 et u = (x,y)
tu as trouvé ca aussi ?
Oui c'est clairement faux, une des applications partielles en 0 est même pas continue, alors elle risque pas d'être dérivable.
f(0,0)=1
f(1/n,0)=0 pour tout n.
La i-ème dérivée partielle c'est la dérivée de la i-ème application partielle.
La i-ème application partielle, c'est l'application
x->f(x1,x2,...,xi-1,x,xi+1,....,xn)
J'espère que c'est plus clair maintenant pour vous 2.
a+
pour la 5/ je vais voir je l'ai pas encore fait, je pense pas avoir de problème pour la faire
pour la 2/, j'avou que c'est pas beaucoup plus clair
Si je te donne la fonction f définie par
f(0)=1
f(x)=0 si x>0 est ce que tu penses que f est dérivable en 0?
ben, pr moi non plus c pas très clair ...
et pour être honnête j'arrive pas a répondre à ta questoin ....
je vois bien que f(1/n) = 0 --> f(0) = 1 dc ca ca pose pb, mais je vois pas en koi ca voudrai dire ke c pas dérivable
ba ça veu dire qu'elle est pas continue mais ça n'empèche pas qu'elle soit dérivable si?
kel est exactement la différence entre être différentiale et admettre des dérivées partielles ?
pke la g l'impression que je m'embrouille completement
Bon, attention quand même à ce que je dis:
Une fonction réelle dérivable en a est continue en a.
Regarder l'existence d'une dérivée partielle revient EXACTEMENT à regarder l'existence d'une dérivée directionelle, c'est à dire l'existence d'une dérivée de fonction réelle!
Cependant,
une fonction peut ne pas être continue en un point a, et avoir toutes ses dérivées partielles qui existent. Dans ce cas les applications partielles sont continues, et c'est la fonction qui ne l'est pas.
De plus, puisque la fonction n'est pas continue, elle n'est pas différentiable.
Il y'a donc plusieurs notions différentes, dans l'ordre "d'importance":
1-Continuité des applications partielles
2-Existence des dérivées partielles
3-Continuité de la fonction
4-Différentiabilité de la fonction
5-"Continue différentiabilité" de la fonction (ie f de classe C1), c'est à dire existence des dérivées partielles (2-) + continuité des dérivées partielles
On a les implications suivantes
5->4->3
2->1
4->2->1
Attention, on a pas 3->2
exemple:
f(x,y)=xy/(x²+y²)
la 1e application partielle en 0 est
f(x,0)=0
f(0,y)=0
On a donc que les applications partielles existent en 0 et sont continues, et mêmes dérivables (x->0 est une fonction dérivable)
Pourtant f n'est pas continue en 0 (exercice).
Ce qui prouve que 2->3 est faux également.
a+
Ou avez vous trouvé ces questions?
Parce que si vous avez un cours qui ne traite pas de ceci c'est très étrange...
Votre prof vous a donné ca?
Dans quelle université êtes vous (sans indiscretion)?
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