Bonjour, une condition suffisante est que chaque dérivée partielle existe et soit de classe C1.
C'est le cas ici, donc f est différentiable (même de classe C1) et df(x,y,z) est l'application linéaire qui au triplet (h,k,l) associe h.(dérivée partielle en x)+k.(dérivée partielle en y)+l.(dérivée partielle en z).

Sinon pour plus de détails je te renvoie toi aussi à mon petit topo sur la question (décidément, je me fais de la pub! ) -> Dérivée et différentielle

Ok merci mais (h,k,l) on ne les calcule pas ?

Ben non puisque ce sont les variables!
Tu connais pas bien ton cours, toi!

Si on écrit df(x,y,z) on voit x,y,z fixés.

Et cette notation désigne une fonction (et même une application linéaire), celle qui à (h,k,l) associe ce que je t'ai écrit plus haut.

Ok merci. Je dois faire de meme avec (xy).
Donc pour le calcul des dérivées partielles je trouve :
-en fonction de x : y/2xy
-en fonction de y : x/2xy.


Pour etre de classe C1 il faut bien que la fonction soit dérivable et la dérivée continue. Dans ce cas comment On peut le montrer qu'elle est continue svp ?.
Merci beaucoup.

Je t'en prie.

L'application (x,y) -> xy est continue (c'est un polynôme en x et y).
Pour obtenir les deux dérivées partielles, tu ne fais que composer et multiplier des fonctions continues entre elles, donc on obtient bien des dérivées partielles continues sur chacun des ensembles (R+*)² et (R-*)².

Conclusion: f est C1 sur chacun de ces deux ensembles.

Tigweg

Ok merci bien Tigweg. Ca m'aide vachement dans mes révisions pour demain. On peut donc obtenir la différentielle qui est donc :
yh/2xy + kx/2xy.

Une petite dernière Du meme genre. J'ai :
h(x,y,z,t)=log(1-x^2-y^2-z^2-t^2).
Donc pour le calcul des dérivées partielles je trouve :
-en fonction de x : -2x/1-x^2-y^2-z^2-t^2
-en fonction de y : -2y/1-x^2-y^2-z^2-t^2
-en fonction de z : -2z/1-x^2-y^2-z^2-t^2
-en fonction de t : -2t/1-x^2-y^2-z^2-t^2
Comme 1-x^2-y^2-z^2-t^2 est continue car c'est une fonction polynomiale, on peut donc écrire la différentielle.

Est ce juste ?

Merci beaucoup.

Oui, c'est juste au début!

Pour les logarithmes, tes dérivées partielles sont justes, par contre pour que ce machin soit défini et continu, il faut se placer dans un certain ensemble ( où désigne la sphère unité).

Aucun problème, ta conclusion est juste également si tu précises que les 4 dérivées partielles sont continues sur l'ensemble où .

Tu es allé voir le lien que je t'ai indiqué?

Bon y a eu un bug je reprends.


Oui, c'est juste au début!

Pour les logarithmes, tes dérivées partielles sont justes, par contre pour que ce machin soit défini et continu, il faut se placer dans un certain ensemble ( où désigne la sphère unité).

Aucun problème, ta conclusion est juste également si tu précises que les 4 dérivées partielles sont continues sur l'ensemble où .

Tu es allé voir le lien que je t'ai indiqué?

Que se passe-t-il?

Ca ne poste pas l'intégralité de mon message!


S1 désigne la sphère unité.Tu prends R^4 privé de S1.

Ok merci. Oui je suis allé voir votre cours qui est d'ailleurs très bien faits mais je préfère y mettre en application car je comprends mieux. Ok donc les différentielles c'est bon. Merci.

Encore quelques petites questions si ca ne vous dérange pas trop.

Je dois par exemple calculer la limite en (0,0) de la fonction :
(x^2+y^2)log(x^2+y^2).

Bon quand je remplace par (0,0) je trouve une forme indéterminée du type -inf*0.

Mais je n'arrive pas à voir comment je peux lever l'indétermination... Je suppose qu'il est nécessaire de la majorer non ?

Merci.

Pas de quoi et merci de qualifier de cours mon topo sommaire. (Tu peux me tutoyer, au fait!Qu'avez-vous tous, ce soir? )


Le plus simple quand tu vois du x² et du y², c'est de passer en polaires en posant x=r cos (a) et y=r sin (a).
Alors r²=x²+y².

Dire que (x,y) tend vers (0,0) équivaut à dire que r tend vers 0.



Ta fonction s'écrit pour r>0 :



r².ln(r²)=2r².ln(r), il n'y a plus qu'à faire tendre r vers 0 et d'utiliser le fait que r.ln(r) tend vers 0 en 0.

Conclusion:

Ok merci bien. C'est vrai que je ne pense jamais à passer en coordonnées polaires, j'ai plus le reflexe à majorer mais sur ce coup je me suis avoué vaincu. Sinon je continue à vous vouvoyer car vous etes prof et moi l'étudiant donc je vous vouvoie. Mais je ne comprends pas où passe le cosinus et le sinus car cos^2+sin^2 n'est pas égal à 0 ?

Je dois ausi calculer la limite de g(x,y) = sin(x^2+y^2)/(x^2+y^2). J'ai bien essayé en passant par les coordonnées polaires mais ca me donne 2sin(r) au numérateur donc ca m'avance guère...

Merci.

Comme tu voudras!

cos²a+sin²a=1 donc on a bien r²cos²a+r²sin²a=r²(cos²a+sin²a)=r².

En passant en polaires pour g on obtient sin(r²) au numérateur, ce qui n'est pas égal à 2sin r, attention!
En bas on obtient r, donc il faut calculer la limite en 0 de




Pour cela, il suffit (par exemple) de se rappeler qu'un équivalent de sin(u) en 0 est u.

Autre méthode: remplacer le r du bas par r²/r puis utiliser le fait que la limite en 0 de est 1.

Merci mais là je n'ai pas tout suivi à la fin. Car si on prend u =r^2 et u =r^2/r on a pas le meme u...

Merci.

Oui mais on a avec r² qui tend vers 0 donc la fraction tend vers 1.

Or r tend vers 0 donc le tout tend vers 0.1 soit 0.

Ah oui ok j'ai compris. Merci.
Un petit dernier exemple si vous avez le temps.

On considère la fonction f : R^2 dans R définie par :

F(x,y) = (x^4+x^2y^2+y^4)/(x^2+y^2), (x,y) différent de (0,0).
f(x,y)=0 en (0,0).

Je dois étudier la continuité de f en (0,0). Ca c'est bon je pense m'en sortir car elle est continue car c'est un quotient de fonctions polynomiales. Et en (0,0) je pense qu'il faut  faire la limite du taux d'accroissement quand x tend vers 0. C'est bien cela ?

Je dois ensuite calculer les dérivées partielles de f en (0,0) il faut que je fasse le taux d'accroissement et la limite du taux quand dans un premier cas x=0 et dans un autre cas y=0. C'est bien ca ?

Et pour finir je dois étudier la continuité des dérivées partielles en (0,0) puis la différentiabilité de f en (0,0).

Je pense que je dois regarder la limite en (0,0) des deux dérivées partielles mais pour la différentiabilité je ne vois pas.

Voila c'était ma dernière question. Merci.

Malheureusement je pense que tu es parti. Je vais esayer de trouver par moi même car demain j'ai une interro. Bonne soirée.

Rapidement car je vais éteindre l'ordinateur:

1) Elle est continue partout sauf en (0,0) a priori, d'où la question en (0,0).
Remarque que le numérateur s'écrit plus simplement (x²+y²)²-x²y²=r^4 -r^4cos²a sin²a .
Donc quand tu divises par r² et que tu fais tendre r vers 0 le tout tend vers 0.

Or f(0,0) vaut aussi 0 par hypothèse d'où continuité.

2)Dérivée partielle selon x en (0,0):

on fixe y =0 et on obtient pour x non nul f(x,0)=x² donc pour x non nul, (f(x,0)-f(0,0))/x = x qui tend vers 0 quand x tend vers 0.Idem en y par symétrie de f.

3)Il faut calculer les dérivées partielles en un point (x,y) non nul à partir de la formule générale de f, puis faire tendre (x,y) vers (0,0) , passe en polaires.

4)différentiabilité en (0,0): le seul candidat possible est l'application linéaire (h,k) -> h.f'_x(0,0)+k.f'_y(0,0) qui est l'application nulle.

f est diff. en (0,0) ssi f(x,y)=f(0,0)+df(0,0)(x,y)+o(||(x,y)||) lorsque (x,y)->(0,0).

Or f(0,0)=0 et ||(x,y)||=r donc on se demande si au voisinage de (0,0), f(x,y) est un petit o de r, autrement dit si f(x,y)/r tend vers 0.

Or on a vu que f(x,y)=r²(1-cos²a.sin²a) si (x,y) différent de (0,0).

Son quotient par r tend donc encore vers 0 lorsque (x,y) (ou r c'est pareil) tend vers 0.

Donc f est diff en (0,0) de différentielle en (0,0) l'application nulle.

On a donc ici un exemple de fonction diff en un point mais dont les dérivées partielles en ce point, bien qu'elles existent, sont discontinues.


Bonne chance pour ton partiel demain,


Tigweg

Ah merci beaucoup. Encore merci. Bonne nuit

Avec plaisir, dis-nous si ça a marché!

Tigweg

Voila je l'ai faite. Ca ne s'est pas trop mal passé. J'ai juste manqué de temps pour tout faire et après avoir rendu ma copie je me suis rendu compte qu'en dérivant une fonction je me suis trompé dans un signe. Enfin c'est fait donc plus qu'à attendre le résultat. En tout cas tous mes remerciements pour votre aide qui m'a été très utile. Encore merci et bonne journée.
A la prochaine.

Merci de ta réponse et bravo!

Content d'avoir pu t'aider et à bientôt Joffrey!

Tigweg