Salut,
je te conseille de lire ce topic, à l'époque, certaines explications qui y été données m'avaient éclairées l'esprit.
Continuité / Continuité uniforme

Salut Léo, visuellement il est difficile d'expliquer l'uniforme continuité.
Mais par exemple sur R la fonction x² n'est pas uniformément continue tandis que racine de x oui.
On a f lipschitzienne implique f continue uniformément implique f continue.
Il y a le théorème de Heine qui est très important.
Toute fonction définit sur un compact est uniformément continue.

Bonjour,

Je vous remercie tous les 2.

Robby 3 : J'irai voir ce topic en profondeur (quoi que le nombre de smileys au 1er abord me freine un peu).

Zulussrealm : La fonction x² n'est pas uniformément continue sur , mais elle l'est sur un intervalle [a,b].

Cela fait partie des "choses" qui me posent question ...

Léo

Oui je suis un peu dans le même cas que toi, je me pose aussi des questions à ce sujet mais c'est peut-ête parce qu'on ne peut pas explicitement dire à quoi ça correspond sur un graphe par exemple.
C'est un peu comme les fonctions boréliennes..

Non, je penserai plutôt pour ma part que certaines fonctions (comme f(x)=x²) ne peuvent être uniformément continues que sur une intervalle fermé, quel qu'il soit.
Le fait de raisonner sur tout entier "ouvre un champ" qui fait qu'elle perde leur uniforme continuité, tout en restant continues.

Et c'est bien cette notion là qui m'est trop fragile, je n'arrive pas à la "matérialiser".
Je suis convaincue de l'importance de cette notion en analyse, et je ne veux pas passer à côté, faire de "l'à peu près'. C'est pour cela que j'ai posté cette question.
J'ai besoin d'aide.

Léo

Ce n'est pas très mathématique ce que je vais dire, mais pour illustrer mes propos ci-dessus, j'entends "uniforme continuité" comme "continue de la même façon partout sur l'intervalle considéré". Ce qui explique que "ça coincerait" pour f(x)=x².

Mais c'est très flou pour moi.

Si quelqu'un peut apporter un éclairage de la façon la moins formelle possible, ce serait chouette ...

Léo

Je risque de dire quelque chose qui va dresser les cheveux à Madame Rigueur,mais y'aurait-il un semblant de relation de cause à effet entre "uniforme continuité" et "uniforme variation" (ou "uniforme croissance") ?

(désolé, je tâtonne à voix haute).

Merci

Léo

Robby,

Ton lien posté à 22:45 expliquerait mon post de 08:10 par le biais de la majoration par une fonction affine ...

En effet, sur [a,b], la fonction f(x)=x² est majorée par , ce qui n'est plus possible dans tout entier ...

Bonjour,

J'ai essayé de mettre ça en image.
Soit la fonction f: x -> x²

On fixe un > 0. Pour envoyer un intervalle de longueur 2 autour de x dans un intervalle de longueur 2 autour de f(x), on voit qu'il faut prendre de plus en plus petit, quand x croît.
Si on se limite à l'intervalle représenté dans la figure, f y est uniformément continue, car un intervalle de longueur 2₃ autour de chaque x de la figure sera envoyé dans un intervalle (strictement) inclus dans ]f(x)-, f(x)+[.
Mais sur tout entier, on ne trouvera plus de qui convienne pour tout x, car quand x tend vers l'infini, le qui convient tend vers 0.

Ah ................................ Frenicle !!!! Enfin du pragmatisme !

Merci, merci, merci.

Vraiment 1000 merci d'avoir pris de ton temps pour bien comprendre MES propres questionnements sur MON cheminement, sans me donner en pâté ce que l'on voit écrit partout sur cette notion, et qui ne m'éclaire pas.

Que ça fait plaisir d'avoir des choses qui parlent devant les yeux, avec une explication claire (ou plutôt clarifiée, car j'ai bien conscience qu'il faudra à un moment de l'apprentissage un minimum de "formel" pour "encadrer" tout cela; mais du formel en amont fait que parfois jamais on ne comprendra jamais, car on abandonnera .... ).


Ton explication m'éclaire énormément, vraiment merci à toi.

J'ai donc maintenant (tu imagines bien) d'autres questions :

1°)- comment bien saisir le fait alors que l'on peut choisir [a,b] aussi grand que l'on veut dans   (pourvu que l'intervalle I soit "fini"), et qu'on aura donc toujours cette uniformité continue viable pour cette fonction f(x)=x².

2°)- quel(s) est (sont) l'intérêt (les intérêts) de cette notion d'uniforme continuité, si "ça marche toujours sur tout [a,b] mais pas sur ?  (j'imagine bien  qu'il doit y en avoir des intérêts ...)

3°)- pourquoi les fonctions lipschitziennes ne sont jamais bien loin quand on aborde cette notion ?

Te remerciant encore.

Léo

Frenicle serait-il toujours dans le secteur ???

De rien
(mais c'est sympa quand même de remercier comme ça )

Sur tes questions

1°) Dans le graphique, je n'ai pas indiqué l'échelle : x₃ peut valoir aussi bien 5 que 10000000000. Ce qui importe, c'est que l'intervalle soit borné.

2°) Le th. de Heine affirme qu'une fonction continue sur un intervalle fermé borné de y est uniformément continue.
Mais une fonction peut fort bien être uniformément continue sur tout entier. Exemple x -> sin x.
Quant à l'intérêt de cette notion, c'est surtout, à ma connaissance, de prouver qu'une fonction continue est intégrable (au sens de Riemann), en l'approximant uniformément par des fonctions en escalier.
Historiquement, c'est comme ça que c'est apparu chez Weierstrass, Heine et consorts.
A noter que cette notion est assez subtile pour avoir échappé à Cauchy, pourtant pas le premier venu.

3°) Les fonctions lipschitziennes sont un exemple simple de fonctions uniformément continues.

RE-bonjour,

C'est exactement dans le cade d'un cours sur les Intégrales que je découvre cette notion.
Elle est abordée dans le chapitre Intégrale de Riemann.

Léo