Bonjour,
Je souhaite discrétiser une équation différentielle linéaire du second ordre
(la variable de départ est y(t) et y(n) = y(t = nT) où T est la période d'échantillonnage : T = h très faible),
puis utiliser la transformée en Z pour déterminer une solution analytique approchée du signal y(n).
On peut approcher y' par [y(n+1) - y(n-1)]/2h et y" par [y(n+1)- 2y(n)+ y(n-1)]/h²
(qui sont les meilleures approximations respectives lorsque h est petit).
Lorsque l'on passe à l'équation aux transformées en Z, on ne fait apparaître que le terme y(0),
condition initiale toujours donnée dans l'énoncé, et ce, en appliquant
le Théorème de l'avance à Z(y(n+1)) : Z(y(n+1) = z[Z(y(n)- y(0)].        
Par parenthèses, le Théorème du retard appliqué à Z(y(n-1)) donne :
Z(y(n-1) = [(1/z).Z(y(n)] et ne fait pas apparaître y(0). La question est donc la suivante :
sachant que l'on donne souvent une seconde condition initiale dans l'énoncé, y(1)ou y'(0)
(ce qui revient au même car on en déduit facilement y(1)), que fait-on de cette seconde
condition donnée ? Remarquons qu'il y a bien un moyen de faire apparaître y(1),
lorsque l'on discrétise, qui consiste à augmenter les indices d'une unité dans l'équation discrète
obtenue précédemment. Ainsi : y(n+1)-> y(n+2) ;  y(n)-> y(n - 1) ;  y(n-1)-> y(n),
(sans oublier d'élever également l'indice du second membre de l'équation).
En passant cette fois aux transformées en Z, on a le terme  Z(y(n+2)) qui donne
d'après le Théorème de l'avance : Z(y(n+2)) = z²[Z(y(n)- y(0) - (1/z).y(1)],
ce qui fait cette fois apparaître y(1) et nous permet ainsi d'utiliser
les deux données de l'énoncé, y(0) et y(1). Mais pour autant, cette seconde méthode
est-elle préférable à la première au motif que l'on utilise les deux conditions initiales
données dans l'énoncé et non une seule ? Merci pour vos réponses.