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Discriminant complexe

Posté par
Mutsuki 22-09-13 à 23:56

Bonsoir, je dois montrer qu'il existe une racine ai de P(z)=z3-(3+5i)²+(-6+11i)z+10=0 , a réel

J'ai donc commencé par remplacer z par ai, m'amenant donc à résoudre une équation complexe du 2nd degré
Or je trouve un =-12+56i et lorsque je veux utiliser ²= avec =a+ib tq
a²-b²=-12
2ab=-56
a²+b²=|| = ...

Ben jme retrouve avec une racine de -12²+-56² qui tombe pas juste du coup jvois pas trop comment faire .. Si qqun pouvait me donner une piste

Posté par
cailloux Correcteurre : Discriminant complexe 23-09-13 à 00:24

Bonsoir,

Citation :
m'amenant donc à résoudre une équation complexe du 2nd degré


Je suis curieux de savoir laquelle.

a est réel et, en l' occurrence, solution d' un système d' équations à coefficients réels.

Posté par
GGennre : Discriminant complexe 23-09-13 à 00:26

bonsoir,
Ne jamais oublier les modules !!
mod(-12+56i)=[mod(a+ib)]²=a²+b²

Posté par
Vinz62re : Discriminant complexe 23-09-13 à 07:34

Salut
(ai)2= -a
(ai)3= -ai

Donc au final ton équation n'a rien du second degré reste à regrouper les termes sous une forme algébrique

Posté par
Vinz62re : Discriminant complexe 23-09-13 à 07:36

Oups pardon j'ai oublié de mettre a au carré et au cube mais ça change rien à la méthode
T'as peut être une équation du second degré en a après mais ça m'etonnerait

Posté par
alainpaulre : Discriminant complexe 23-09-13 à 12:09

Bonjour,


Le plus souvent pour la factorisation d'un tel
polynôme du 3 ème degré on commence par la recherche
d'une racine simple ou évidente,
ici z1z2z3 =10 ,essaie +/-( 1,2,5,i,2i ...) ,celle-ci
doit annuler p(z).
Quand tu as trouvé z1=2i
Tu effectues la division euclidienne selon les puissances
décroissantes de z:
z^3-(3+5i)z^2+(-6+11i)z+10 |z-2i \\                                               z^2 \\ ...

"pas de reste" ta division est bonne!

Tu te retrouves alors avec un trinôme du second degré...



Alain

Posté par
DOMOREADiscriminant complexe 23-09-13 à 12:16

Boujour
@alainpaul, tu sembles avoir un temps de retard!

Posté par
alainpaulre : Discriminant complexe 23-09-13 à 12:22

Salut,

Quelle était donc la question posée?


Alain

Posté par
LeDinore : Discriminant complexe 23-09-13 à 12:48


D = -12 + 56.i = d^2 = (a+ib)^2 = (a^2 - b^2) + 2ab.i \\ |D| = \sqrt{12² + 56²} = |d|^2  = a^2 + b^2 \\ \\ a^2 + b^2 = 4\sqrt{3² + 14²} = 4\sqrt{205} \\ a^2 - b^2 = -12 \\ 2ab = 56 \\ \\ a^2 = 2\sqrt {205} - 6 \\ b^2 = 2\sqrt {205} + 6 \\ \\ a_1 = \sqrt {2\sqrt {205} - 6} \\ b_1 = \sqrt {2\sqrt {205} + 6} \\ \\ a_2 = -a_1 \\ b_1 = -b_1    (ab > 0) \\

Posté par
freniclere : Discriminant complexe 23-09-13 à 13:26

Bonjour,

cailloux a indiqué la voie.

(ai)^3-(3+5i)(ai)^2+(-6+11i)(ai)+10=0

équivaut à

-ia^3+3a^2+5ia^2-6ai-11a+10=0

C'est-à-dire, puisque a est réel, à deux équations (une pour la partie réelle, une pour la partie imaginaire) :

3a^2-11a+10=0\;;\;\;\; -a^3+5a^2-6a=0

comme a n'est visiblement pas nul, on est ramené à


3a^2-11a+10=0\;;\;\;\; -a^2+5a-6=0

Il suffit d'éliminer a^2 entre ces deux équations (qu'il est inutile de résoudre) et il ne reste alors plus qu'une simple équation du premier degré.

Posté par
LeDinore : Discriminant complexe 23-09-13 à 13:51

J'aurais peut-être dû lire l'énoncé ...
Ca m'aurait éviter de la sueur inutile.

Quoique... je voulais quand même montrer à Mutsuki que rien n'était bloquant dans la (fausse) piste qu'il suivait ...


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