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Discussion sur le prolongement d'applications croissante
Bonjour à tous,
Je souhaite soumettre à la discussion une réflexion issue de mon préprint actuel (* The correction of the extension function of an increasing application of choice, the disproof of the Goldbach's conjecture and a new special continuity*)[span_0](start_span)[span_0](end_span).
**Lien vers l'article :** [Lire sur ResearchGate]
#### Formulation mathématique
On considère une application strictement croissante $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ telle que $f(X) > X$ pour $X > c$ ($c \in \mathbb{N}_{>0}$)[span_1](start_span)[span_1](end_span). Considérons la suite d'itérations :
$$f^0(X) = X, \quad f^1(X) = f(X), \quad f^2(X) = f(f(X)), \quad \dots$$
Comme $f$ est strictement croissante, pour un $X$ fixé quelconque, on a :
$$\lim_{i \to \infty} f^i(X) = +\infty$$
En se basant sur l'hypothèse examinée dans l'article, selon laquelle $f(X) \to \infty \implies X \to \infty$, on peut formuler le raisonnement par récurrence suivant sur les indices :
$$f(f^{i-1}(X)) \to \infty \implies f^{i-1}(X) \to \infty \implies \dots \implies f^0(X) = X \to \infty$$
Cela aboutit à une contradiction formelle avec l'hypothèse selon laquelle $X$ est un nombre fini et fixé. Le pré-tirage analyse les implications de ce constat pour les extensions réelles non monotones, les asymptotes verticales, ainsi que pour certains résultats de théorie des nombres (tels que le postulat de Bertrand et la conjecture de Goldbach). **Question à la communauté :** Comment concevez-vous le traitement mathématique de cette interface entre l'indice d'itération $i \to \infty$ et la variable $X$ dans le cadre de l'analyse réelle ?
Je serais ravi de lire vos retours et d'avoir un échange mathématique constructif !
Bonjour,
il me semble que l'hypothèse
« f(X) tend vers l'infini entraîne X tend vers l'infini »
n'a pas vraiment de sens mathématique.
De façon générale une limite est toujours quelque part. En reformulant ton hypothèse comme je la comprend on aurait :
« si la limite f à l'infini est l'infini alors la limite de la fonction identité à l'infini est l'infini » ce qui est trivialement vrai puisque la limite de la fonction identité à l'infini est bien l'infini.
Il me semble que tu devrais reformuler ton hypothèse.
Bonjour,
Vous n'avez pas raison puisque je peux reformuler l'hypothèse de cette manière:
« f tend vers l'infini entraîne la variable de f tend vers l'infini ».
Cordialement
On pourrait dire:
la courbe de f qui a une seule variable tend vers l'infini, entraîne la variable de f tend vers l'infini.
On pourrait dire:
la courbe de f qui a une seule variable tend vers l'infini, entraîne la variable de f tend vers l'infini.
Bonjour,
Admettons l'affirmation : « Si f(ui) → +∞, alors ui → +∞ ».
Prenons un exemple élémentaire qui satisfait les hypothèses du préprint : f(n) = 2n, avec c = 1, qui sélectionne les rangs pairs. Pour X = 2, il vient fi(2) = 2i+1 → +∞, et l'implication précédente est également vérifiée, puisque f(ui) = 2ui.
Le raisonnement du préprint donne alors : 2i+1 → +∞ ⇒ 2i → +∞ ⇒ 2i−1 → +∞ ⇒ 2i−2 → +∞ ⇒ …
Jusque-là, tout est correct. Mais en poursuivant les points de suspension jusqu'à f0(2), ce raisonnement conduirait à : 2i+1−i = 2 → +∞.
Or, i−k → +∞ pour tout entier k fixé, mais pas pour k = i, puisque i−i = 0.
Autrement dit, le raisonnement confond le retrait d'un nombre fixe d'itérations avec le retrait de toutes les i itérations.
Il n'y a donc aucune contradiction entre fi(2) → +∞ et f0(2) = 2.
Enfin, h(x) = 2x constitue un prolongement réel continu, strictement croissant et sans asymptote verticale, contrairement à la conclusion générale du préprint.
Mais dans la preuve nous n'avons pas besoin du fait que:
" i−k → +∞ " persiste.
Cela est parce que l'implication qui est considérée :
" la courbe de f qui a une seule variable tend vers l'infini, entraîne la variable de f tend vers l'infini. "
ne contient aucune itération infinie des compositions.
Message initial :
$$f(f^{i-1}(X)) \to \infty \implies f^{i-1}(X) \to \infty \implies \dots \implies f^0(X) = X \to \infty$$
Application à f(n) = 2n et X = 2 :
2i+1 → ∞ ⇒ 2i → ∞ ⇒ … ⇒ 4 → ∞ ⇒ 2 → ∞
Questions :
Quelle règle mathématique justifie donc le passage « … ⇒ f0(X) = X → ∞ » dans le message initial ?
Quelle variable tend vers l'infini dans la dernière expression ?
Il n'y a pas une règle mathématique mais juste une implication considérée juste afin d'établir la contradiction. L'implication est:
" la courbe de f qui a une seule variable tend vers l'infini, entraîne la variable de f tend vers l'infini. "
On pourrait dire:
la courbe de f qui a une seule variable tend vers l'infini, entraîne la variable de f tend vers l'infini.
Je reformule « la courbe de f qui a une seule variable tend vers l'infini » : on a une f application de
dans telle que l'ensemble f() ne soit pas borné. Ces deux expressions disent la même chose mais la seconde a l'avantage de ne pas faire apparaître de variable muette. Il n'y a aucune variable a considérer.
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