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Niveau maths sup
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distance à une partie de R

Posté par
saljer
08-12-21 à 21:21

Bonjour les amis
je suis bloqué sur un exercice d'un  DM que je veux bien partagé avec vous sollicitant votre soutien
voici l'exercice
soit A une partie de R .Pour tout x de R on pose
       d(x,A)=inf \{\lvert x-y\rvert\ ,\ y\in A\}
montrer que pour tout x de R  il existe un unique z de A tel que
d(x,A)=\lvert x-z\rvert\
que vaut z
indication utiliser le theoreme de bolzano-weistrass
je ne sais pas comment introduire ce theoreme

Posté par
Zormuche
re : distance à une partie de R 08-12-21 à 21:37

Bonjour

Ce n'est pas vrai. Il faut des conditions supplémentaires sur A

Posté par
saljer
re : distance à une partie de R 08-12-21 à 21:55

Effectivement j'ai oublié de mentionner que A est un segment

Posté par
Zormuche
re : distance à une partie de R 09-12-21 à 00:38

Je ne sais pas s'il est nécessaire d'invoquer le théorème de Bolzano-Weierstrass...

Trois cas sont à distinguer :

x> \sup(A)\qquad x<\inf(A) \qquad \inf(A) \le x \le \sup(A)

Dans chacun des cas, trouver un  z\in A  qui minimise la distance  |x-z|  et conclure rapidement sur l'unicité de ce  z

Posté par
etniopal
re : distance à une partie de R 09-12-21 à 10:04

   Si A = ]0 , 1[ on a d(0 , A ) = 0  mais aucun x de A ne vérifie d(0 , x ) = 0 .

Posté par
Zormuche
re : distance à une partie de R 09-12-21 à 10:06

Bonjour etniopal

Ici A est un segment, c'est-à-dire un intervalle fermé et borné

Posté par
etniopal
re : distance à une partie de R 09-12-21 à 10:34

Trouvé (dans un Larousse) pour "segment"  :

    Partie de droite connexe et limitée par deux points appelés extrémités. (On le note [AB] ou ]AB[ selon qu'il est fermé ou ouvert.)  

Posté par
saljer
re : distance à une partie de R 09-12-21 à 18:41

Je crois que le théorème de Blzano-weistrass c'est pour ces deux questions que j'ai sautées car trop facile puisque je les ai faites sans théorème BOLANO WEISTRASS
a/montrer que si une  suite réelle (x_n)_,n\in \mathbb{N} d'éléments de A converge vers d(x , A) alors x\in\ A
b/Montrer que d(x , A)=0 si et seulement six\in\ A
dernière question
d/Que peut on dire si on considère A un intervalle fermé et non borné.



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