Bonjour

Ce n'est pas vrai. Il faut des conditions supplémentaires sur A

Effectivement j'ai oublié de mentionner que A est un segment

Je ne sais pas s'il est nécessaire d'invoquer le théorème de Bolzano-Weierstrass...

Trois cas sont à distinguer :



Dans chacun des cas, trouver un    qui minimise la distance    et conclure rapidement sur l'unicité de ce  

   Si A = ]0 , 1[ on a d(0 , A ) = 0  mais aucun x de A ne vérifie d(0 , x ) = 0 .

Bonjour etniopal

Ici A est un segment, c'est-à-dire un intervalle fermé et borné

Trouvé (dans un Larousse) pour "segment"  :

    Partie de droite connexe et limitée par deux points appelés extrémités. (On le note [AB] ou ]AB[ selon qu'il est fermé ou ouvert.)  

Je crois que le théorème de Blzano-weistrass c'est pour ces deux questions que j'ai sautées car trop facile puisque je les ai faites sans théorème BOLANO WEISTRASS
a/montrer que si une  suite réelle d'éléments de A converge vers d(x , A) alors
b/Montrer que d(x , A)=0 si et seulement si
dernière question
d/Que peut on dire si on considère A un intervalle fermé et non borné.