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Niveau terminale
Distance d'un point à une droite
Posté par Yagami_Kira
Bonjour à tous et à toutes! 
Ma prof de maths, nous a donné un exercice pour demain sur ce qu'on a pu voir concernant le produit scalaire en 1ere S.
Etant donné que je n'avais pas très bien compris le cours de l'année dernière je suis mal barré alors j'aimerais bien votre aide pour m'aider sur cet exercice!
Je vous joins l'énoncé :
Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O,i,j) on considère une droite D d'équation : ax+by+c=0
Soit A (XA;Ya) un point quelconque du plan et H son projeté orthogonal sur la droite D.
1) Donner les coordonnées d'un vecteur normal à la droite D.
2) Démontrer qu'il existe un réel k tel que : XH= XA+ka et YH=YA+kb
3) Sachant que le point H appartient à la droite D, déterminer la valeur du réel k, puis les coordonnées de H en fonction de celles de A et de a,b et c.
4) En déduire que : AH = |axA+byA+x| / 
(a²+b²)
5) Dans chacun des cas suivants, déterminer la distance du point A à la droite D.
a) A(6;-1) et D : x-3y+4=0
b) A (-2;4) et D : 5x+2y-1=O
Je vous remercie d'avance de votre aide! 
Tu peux m'expliquer comment tu as trouvé ce résultat?
Parce que je comprends pas trop comment tu as fait :s .Merci!
J'aurais besoin de votre aide pour me dire si ce que j'ai pu faire est juste ou pas et me débloquer où je suis bloqué s'il vous plait! ^^
1) Propriété : Si ax + by + c =0 est l'équation d'une droite D, alors le vecteur n (a ; b) est normal à D
2) Soit vecteur HA (xa-xh ;ya-yh) et le vecteur n (a ;b). Ils sont colinéaires donc cos(HA ; n) = 1 puisque l'angle est de 0°.
Soit le produit scalaire des deux vecteurs :
HA.n = |HA|.|n|.cos 0 = |HA|.|n| = a(xa-xh)² + b (ya-yh)²
Bloqué! :s
3) H appartient à la droite D donc axh + byh + c =0
Or xh = xa +ka et yh = ya + kb
Donc
a(xa + ka) + b(ya + kb) + c = 0
axa + ka² + bya + kb² + c = 0
axa + bya + c = -k ( a²+b²)
k = - (axa + bya + c) / (a²+b²) (pas sûr du tout)
pour les coordonnées de H et ben tu reprend les coordonnées xh = xa + ka et yh = ya + kb et tu remplaces k par la valeur trouvée ci-avant je ne sais pas si ça marche
4 ) AH = ||AH|| = √((xh-xa)² + (yh-ya)²)
Or xh = xa + ka et yh = ya + kb donc
ka = xh - xa et kb = yh -ya
d'où
AH = ((ka)² + (kb)²)
AH = (k²(a²+b²))
AH = k. (a²+b²)
On remplace K par sa valeur trouvée ci-avant
AH =[ - (axa + bya +c ) . (a²+b²)] / (a²+ b²)
AH =[ - (axa + bya +c ) . (a²+b²)] / (√ (a²+ b²))²
AH = - (axa + bya +c ) / (a²+ b²)
|AH| = (axa + bya +c ) / (a²+ b²) (Est ce juste?!)
Bonjour,
2) H est le projeté orthogonal de A sur D, donc (HA) est perpendiculaire à D !
or on est dans le plan, et n(a,b) est un vecteur orthogonal à D !
donc le vecteur HA et n, sont colinéaires !
3) ça me semble juste
4)attention ! V(k²)=|k| !
le calcul me semble juste, par contre, mets les indices ! par exemple pour tes xa : x[sup ]a[/sup ] (sans les espaces avant les ]), ça donne ça : xa, ça rendra plus lisible
5) tu as la formule, tu as juste à calculer 
Je vois pas quel formule utiliser pour réussir le 5). Tu peux me donner un exemple avec le a) et moi après pour voir si j'ai compris je fais le b) ?
Merci de ton aide!