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Distance d'un point à une droite dans l'espace

Posté par
Surt
06-01-11 à 13:12

Bonjour à tous !

Je bloque un peu sur une question concernant la distance d'un point à une droite dans un parallélépipède. Voici l'énoncé :

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que AB = 2 ; BC = GC = 1. Soit I le milieu de [AB].

1) On considère le repère orthonormal (A ; (vecteur)AI, (vecteur)AD, (vecteur)AE).
Déterminer une équation du plan (IFH) dans ce repère.

2) Calculer la distance du point G au plan (IFH).

3) Calculer la distance du point G à la droite (IH) (On pourra appeler G2 le projeté orthogonal de G sur la droite (IH) et chercher le réel tel que : (vecteur)IG2 = (vecteur)IH ).


Où j'en suis :

1) J'ai déterminé les coordonnées des points A, I, F et H :
A (0; 0; 0).
I (1; 0; 0).
F (2; 0; 1).
H (0; 1; 1).

De là, j'ai pu calculer que l'équation du plan (IFH) est : x + 2y - z - 1 = 0.

2)J'ai commencé par déterminer les coordonnées du point G (2; 1; 1).

Ensuite, j'ai calculer sa distance au plan (IFH). J'ai obtenu 6 / 3.

3) C'est là que je coince. Le conseil donné dans l'énoncé ne m'éclaire pas vraiment et j'ignore quelle est la marche à suivre. Donc si l'un de vous pourrait m'expliquer la méthode...

Merci d'avance.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Distance d'un point à une droite dans l'espace 06-01-11 à 13:44

Bonjour, un moyen original c'est de prendre un point courant sur la droite
(elle a pour vecteur directeur IH(-1;1;1) donc ses coordonnées paramétriques sont (x=1-t;y=t;z=t)
La distance GM² = (1-t-2)²+(t-1)²+(t-1)²=3t²-2t+3 est minimum pour t=-b/2a=1/3
donc la distance que l'on cherche est GM²=3(1/3)²-2/3+3=8/3 donc GM=2(2/3)

Posté par
ludavi
re : Distance d'un point à une droite dans l'espace 06-01-11 à 13:47

en faisant une schema en 3D, tu vois que les vecteurs GG2 et HI sont orthogonaux et que g2 verifie  (vecteur)IG2 =  lambda(vecteur)IH .
ecris les relations : produit scalaire de vecteurs =0(perpendiculaire) et aussi les coordonnées des vecteurs IG2 en fonction de lambda.Tu remplaces et tu trouves une equation en .Ayant lambda, tu en deduis donc les coordonnees de G2 et donc la distance GG2 demandée.

Posté par
Surt
re : Distance d'un point à une droite dans l'espace 06-01-11 à 15:41

Merci beaucoup, ça m'aide.

En revanche, je pense avoir fait une erreur de calcul ou de raisonnement quelque part, puisque je trouve les points G et G2 confondus.

Voilà ce que j'ai fait :
On cherche à déterminer le point G2, projeté orthogonal de G sur la droite (IH).
On sait que G2 est sur la droite (IH), donc on a : (vecteur)IG2 = λ (vecteur)IH.
G2 étant le projeté orthogonal de G sur (IH), alors le vecteur (vecteur)GG2 doit être orthogonal au vecteur (vecteur)IH. Ainsi, on a : (vecteur)GG2 . (vecteur)IH = 0.

Connaissant les coordonnées du vecteur (vecteur)IH (-1 ; 1 ; 1), on a donc :
(vecteur)IG2 (-λ ; λ ; λ).

Connaissant les coordonnées du point I(1 ; 0 ; 0) et celle du vecteur (vecteur)IG2, on peut déduire les coordonnées du point G2(λ + 1 ; λ ; λ) et du vecteur (vecteur)GG2(λ - 1 ; λ - 1 ; λ - 1).

(vecteur)GG2 . (vecteur)IH = -(λ - 1) + λ - 1 + λ - 1 = λ - 1 = 0 ;

On a donc : λ = 1.

On en déduit alors les coordonnées du point G2(2 ; 1 ; 1).

Problème, dans cette configuration, je me retrouve avec les points G et G2 confondus.
Ai-je fait une erreur quelque part ?

Posté par
Surt
re : Distance d'un point à une droite dans l'espace 10-01-11 à 11:45

Bonjour !

Désolé pour le double-post, mais après avoir recommencer la question 3, j'arrive à un résultat différent mais tout en restant un peu troublant. Je pense que j'ai de nouveau fait une erreur quelque part, et j'aurais besoin de votre aide pour l'identifier.

Voici ce que j'ai fait :
On sait que G2 est sur la droite (IH), donc on a : (vecteur)IG2 = λ (vecteur)IH.
Connaissant les coordonnées du vecteur (vecteur)IH (-1 ; 1 ; 1), on a donc : (vecteur)IG2 (-λ ; λ ; λ).

Connaissant les coordonnées du point I(1 ; 0 ; 0), du point G(2 ; 1 ; 1) et celle du vecteur (vecteur)IG2, on peut déduire les coordonnées du point G2(-λ + 1 ; λ ; λ) et du vecteur (vecteur)GG2(-λ - 2 ; λ - 1 ; λ - 1).

G2 étant le projeté orthogonal de G sur (IH), alors le vecteur (vecteur)GG2 doit être orthogonal au vecteur (vecteur)IH. Ainsi, on a : (vecteur)GG2 . (vecteur)IH = 0.
(vecteur)GG2 . (vecteur)IH = (-λ - 2)(-1) + (λ - 1) x 1 + (λ - 1) x 1 = λ + 2 + λ - 1 + λ - 1 = 3λ = 0 ;

Et c'est là que je pense m'être trompé, puisque j'obtiens :
On a donc : λ = 0. On en déduit alors les coordonnées du point G2(0 ; 0 ; 0). On remarque que le point G2 est confondu avec le point A, et donc origine du repère.

En poursuivant ensuite les calculs, j'obtiens finalement √6 comme valeur de la distance GG2.


Est-ce que quelqu'un pourrait vérifier ces résultats et, si il y a lieu, me corriger, s'il vous plait.
Merci d'avance.

Posté par
gilou91
re : Distance d'un point à une droite dans l'espace 14-01-11 à 17:29

salut surt ! Je viens de terminer cette excercice , Tu as fait une erreur dans un calculs ,  le vecteur GG2 a pour coordonné ( -lambda - 1 ; lambda - 1 ; lambda - 1 ) C'st ce petit truck qui fausse tout ! Voila refais ta démarche en calculant IH scalaire GG2 ensuite calcul la norme du vecteur GG2 ... Ca devrait etre bon ce coup ci J'ai trouvé 2/3 racine de 6 comme réponse . VOila Bon courage

Posté par
Surt
re : Distance d'un point à une droite dans l'espace 14-01-11 à 17:34

Je te remercies, j'ai finalement trouvé cette erreur seul et j'ai pu finir l'exercice.



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