Salut,
Je continue avec mes histoires d'inf, cette fois-ci avec des distances.
On demande de montrer que pour espace vectoriel d'un espace vectoriel normé , pour tout réel, on a .
On rappelle que pour tout , .
J'essaye de procéder par double inégalité.
Tout d'abord, car (sev).
Or, puisque d dérive d'une norme sur , puis sur (sev).
Donc puis, par passage à l'inf, on obtient que .
Par contre, comment démontrer que ?
Pour ce faire, j'ai pensé à démontrer l'inclusion .
Est-ce la bonne méthode ?
Merci !
Oui pour la première inégalité. Pour la second, tu peux faire comme on a dit ou bien que tu as montré la première inégalité pour tout x et pour tout a réel, donc elle est valable pour 1/a aussi quand a est non nul. Il ne te restera plus qu'à vérifier que l'inégalité est vraie aussi quand a est nul, ce qui ne devrait pas êter trop difficile.
Soient et . On pose et . On applique l'inégalité déjà démontrée :
Soit encore, en multipliant : . Ce qu'il fallait démontrer
Mon message comporte des coquilles, je me permets de double-poster pour les corriger
1) "Pour la seconde, tu peux faire comme tu a dit, ou bien te souvenir du fait que tu as déjà montré"
2) Soient et (il n'est pas nécessaire que a' soit positif)
Bonsoir
Pour la seconde partie ) ne peut-on pas procéder ainsi :
Soit et
Ainsi est un minorant de et puisque est le plus grand des minorants, on a
On peut oui, je voulais lui montrer comment se servir de ce qu'il avait déjà fait pour déduire l'autre inégalité sans effort grâce à la symétrie.
Une autre manière de procéder est la suivante : caractérisation séquentielle de l'inf. On se donne une suite d'éléments de F telle que tende vers et une suite telle que tende vers .
Pour tout n, on a
et
.
Ce qui fournit les deux inégalités cherchées.
Coquille: je me suis planté dans le LaTeX dans chacune des deux inégalités, il faut bien sûr lire
et
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :