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distance point - droite
Bonjour, voici l'énoncé de l'exercice (d'analyse fonctionnelle):
Soient (
²,||.||1),(²,||.||2),(²,||.||
) trois espaces normés.
Trouver la distance entre la droite y=-2x+2 et le point (1,1) dans chacun de ces espaces.
J'ai fait du gros bidouillage donc je pense que c'est pas bon:
Soit D la droite définie par y=-2x+2, on a d((1,1),D)=inf(x,y)
D||(x,y)-(1,1)|| pour ||.|| égale à une des trois normes données, donc:
d((1,1),D)=inf(x,y)D||(x-1,y-1)||=infx||(x-1,-2x+1)||
Et ensuite j'applique ce résultat avec les trois normes données et je "vois" que la distance vaut 1/2 (en prenant x=1/2) pour les trois normes.
J'imagine que ce n'est pas comme ça qu'il faut faire, avez vous une méthode à me proposer?
Merci!
Bonjour
C'est bien comme ça qu'il faut faire, mais je doute que tu trouves le même résultat les trois fois!
J'ai du faire une erreur:
avec ||.||1:
d((1,1),D)=infx(|x-1|+|-2x+1|)=1/2
avec ||.||2:
d((1,1),D)=infx(|x-1|²+|-2x+1|²)1/2=1/2
avec ||.||:
d((1,1),D)=infx(max(|x-1|,|-2x+1|))=1/2
Ce n'est pas bon?
Pour x=2/3 on a |x-1|=1/3 et |2x-1|=1/3, donc pour la norme infinie, c'est strictement plus petit que 1/2 (je pense que c'est 1/3)
Pour la norme euclidienne, j'aurais attendu une racine, mais je ne l'ai pas écrit!
Bonjour, pour ma part,
je trouve bien pour la norme 1, mais après je trouve
pour la norme 2, et
pour la norme sup.
ah oui ok
mais en fait vous trouvez ça comment, par tatonements? ou vous faites une étude de fonctions?
oui, tu peux faire par l'étude d'une fonction , et donner une expression de
plus explicite.
Pour la norme 2, on peut prendre un vecteur directeur de
,
et trouver pour quelle valeur de ,
est orthogonal à
.
Sinequanon est un excellent logiciel de tracé de courbes (gratuit et dû à Patrice Rabiller, un de nos membres).
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