Salut !


LambertW désigne la réciproque de x->x*exp(x). (sachant que x->exp(x) est surjective mais non injective, LambertW est définit partous, mais ne prend pas une unique valeur en chaque point...)


pour le cosinus en un argument complexe, il y plusieur facon de le voir :
1) avec les formule d'euler cos(z)=(exp(iz)+exp(-iz))/2i
2) cos(a+ib)=cos(a)cos(ib)-sin(a)sin(ib) selon la formule d'addition classique et cos(ib)=cosh(b), sin(ib)=isinh(b), donc cos(a+ib)=cos(a)cosh(b)-isin(a)sinh(b)
3) par la série entière cos(z)= somme des (-1)^k*z^2k/2k!

Bonsoir et merci Ksilver

Si je veux résoudre (x²+1)e^(x²+1)=k avec k une constante, ca s'exprimera avec LambertW ?

Comment ca s'apelle mon truc avec le cos(2+i), de l'analyse complexe ?

Et si j'ai ln(3+2i) ca donnera quoi ?

Skops

Comment ca s'apelle mon truc avec le cos(2+i), de l'analyse complexe ? >>> j'ai pas la moindre idée de ce que tu veux dire !
tous ce qu'il y a c'est cos(2+i)=cos(2)cosh(1)-isin(2)sinh(1)


s tu veux résoudre (x²+1)e^(x²+1)=k tu as x²+1=LambertW(k), donc x= sqrt(LambertW(k)-1) ... enfin modulo le fait que la fonction racine caré et la fonction LambertW peuvent chacunne prendre plusieur valeurs possible, ce qui donne en réalité une infinité de solution.

hontement, la fonction LambertW n'est pas vraiment tres utile ni tres pratique (enfin... à ma connaissance...).


pour le log complexe c'est un peu plus compliqué que pour le cosinus car il est pas parfaitement définit. globalement on le définit comme une application de C*->C/(2iPi Z) définit par z=r*exp(ix) -> ln(r)+i x
C/(2iPi Z) désige l'ensemble des nbs complexes pris modulo 2iPi...

on peut aussi le voir comme une application de C-(R-) (ou privé de n'importe qu'elle demi droite d'origine 0...) dans C. mais il y aura une "discontinuité" de 2iPI quand on "tranverse" la demi droite R-... (je veux dire que si on regarde ln(-r+i*e)-ln(-r-i*e) pour r>0 et e>0 et quand fait tendre e vers 0 on trouve 2iPi (au lieu de 0 si ln etait complexe)

donc pour calculer ln(3+2*i)
il faut commencer par mettre 3+2*i sous forme trigonométrique

ah ok je vien de comprendre. ce que tu veux die sur "de l'analyse complexe ?"


L'analyse complexe est essentielement l'étude des fonction qui sont "dérivable par rapport à la variable complexe". c'est le cas de quasiement toute les fonction qui font intervenir uniquement z, comme exp(z), cos(z),ln(z),z²+3*z-1,1/z, ou meme LambertW(z)? mais ce n'est pas le cas de |z| Re(z), Im(z), ou conjugué de z.
c'est fonction sont appellé Holomorphe, et on montre des résultat beaucoup plus puissant que pour les fonction juste dériable. par exemple, une fonction Holomorphe (donc juste dérivable) est automatiquement infiniement dérivable, et meme dévelopable en série entière. on a aussi des th du genre "si f admet un maximum local alors f est constante" si f holomorphe sur C vérifie |f(z)|/|z|^k borné en l'infinit, alors f est un polynome de degré au plus k. etc etc... donc ce que tu fais c'est un peu de l'analyse complexe. (dans le sens ou en pratique étudier cos pour des argument complexe n'as d'interet que dans le cadre de l'analyse complexe)

Merci beaucoup

Mais pourquoi a t'on donné un nom à la fonction réciproque de xe^x ?
Parce qu'elle était souvent utilisé dans un quelconque domaine ?

Sinon, il y a t'il d'autres fonction de ce genre ? genre réciproque de xln(x) ?

Merci

Skops

Mais pourquoi a t'on donné un nom à la fonction réciproque >>> ca j'en ai pas la moindre idée... a part peut-etre son dévelopement en série entière qui est explicitable si je me souviens bien , ele n'as pas vraiment de propriété interessante.

sinon la fonction réciproque de xln x s'exprime aussi a l'aide de lambertW... je te te laisse voir comment on fait (essai de poser t=ln x...)


apres j'imagine qu'on a choisit x*exp(x) plutot que x ln(x) ou x+ln x ou encore x+exp(x) justement parcque c'est celleci qui avait un DSE pas trop moche (?)

avec t=lnx ?

Skops

" Mais pourquoi a-t-on donné un nom à la fonction réciproque..." ?
Lorsqu'une fonction ne peut pas être exprimée par une formule ne contenant qu'un nombre fini de fonctions élémentaires (ou usuelles), on lui donne un nom et on décrit ses propriétés. Si cette fonction nouvellement définie est fréquemment rencontrée dans les études et les publications, elle devient une fonction connue, dite "fonction spéciale". Certaines sont répertoriées, comme par exemple les fonctions de Bessel, les fonctions elliptiques, les fonctions de Fresnel, la fonction Erf, la fonction Beta, la fonction Gamma, la fonction W de Lambert, la fonction de Dawson, la fonction Zeta de Riemann et beaucoup d'autres. Certaines ne sont pas répertoriées au sens général de ce terme et ne sont utilisées que par des spécialistes du domaine concerné.
Quel est l'intérêt de définir et donner des noms à ces fonctions dites spéciales ? Pourquoi telle ou telle définition d'une fonction spéciale a été retenue plutôt qu'une autre, lorsqu'il pouvait y avoir plusieurs possibilités, ou variantes de définitions ? Ceci est évoqué dans un article de vulgarisation paru dans le magazine QUADRATURE n°55, "Safari au pays des fonctions spéciales", pp.6-16, janvier 2005.