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Divisibilité dans N

Posté par
thomas0112
28-09-22 à 23:03

Bonsoir à tous,
Cela va faire quelques jours que je suis bloqué sur une question du chapitre 1 intitulé "Divisibilité et Division euclidienne" en maths expertes. Voici l'énoncé:

1) Déterminer suivant les valeurs de l'entier naturel n, le reste
de la division euclidienne de 10n+3 par 6.
  

Sachant qu'il y avait une question préliminaire dont le résultat nous faisait conjecturer que les restes possibles de cette division sont 1;3:5.

Pourriez-vous me débloquer? Il me semble qu'il nous faut utiliser un raisonnement par disjonction de cas car nous n'avons pas encore étudié les congruences.
Bonne soirée,
Thomas

Posté par
LeHibou
re : Divisibilité dans N 28-09-22 à 23:47

Bonsoir,

On peut déjà écrire 10n+6 = (6+4)n+3 = 6n + (4n+3)
6n étant divisible par 6, le reste de la division de 10n+3 par 6 sera le même que celui de la division de 4n+3 par 6.
On peut alors effectivement procéder par disjonction des cas en étudiant uniquement les cas n = 0...5.
En effet, pour n> 5, on peut toujours écrire n = 6k + p avec k > 0 et  0 p 5.
Alors, 4n+3 s'écrit alors 4(6k+p) + 3 = 6.4k + 4p+3, et 6.4k est divisible par 6.
Donc le reste de la division de 4n+3 par 6 est le même que celui de la division de 4p+3 par 6.

Posté par
ty59847
re : Divisibilité dans N 28-09-22 à 23:53

10n+3 étant impair, on ne se mouille pas trop en disant que le reste sera 1,3 ou 5 !

On regarde les premières valeurs de n.
Ensuite, quand n augmente de 3, 10n+3 augmente de 30. Donc le reste de la division par 6 est inchangé.
Récurrence ...

Posté par
flight
re : Divisibilité dans N 29-09-22 à 14:02

salut

vois ce qui se passe avec n = 3k  ,  n = 1+3k et n = 2+3k



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