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Divisibilité dans Z
Posté par Samsco
Bonsoir , j'ai besoin que vous me suggérez d'autres méthode pour résoudre ce exercice.
Exercice :
Démontrer par récurrence que:
Réponses:
_ Soit la proposition Pk : " " .
_ Pour n=1 , 1³+5×1=6 et 6|6 donc P1 est vraie
_ Supposons que Pk est vraie pour tout entier naturel non nul et démontrons que Pk+1 est vraie
On a: (k+1)³+5(k+1)=(k³+5k)+3k²+3k+6
=6q+6[(1/2)k²+(1/2)k+1]
(k+1)³+5(k+1)=6[q+(1/2)k²+(1/2)k+2]
*Montrons par récurrence que
_ Soit P'p la proposition: " "
_ pour p=1 , 1²+1=2 et 2|2
_ Supposons que P'p est vraie pour tout entier naturel non nul et démontrer que P'p+1 est vraie.
donc P'p+1 est vraie.
Conclusion :
On a :
(k+1)³+5(k+1)=6[q+1+(k²+k)/2]
(k+1)³+5(k+1)=6Q avec
Conclusion :
bonsoir
que c'est compliqué !
k²+k = k(k+1) ... ce qui est fatalement pair puisque soit k, soit (k+1) l'est..
matheuxmatou
Euh désolé j'avais pas compris la phrase , je vois ce que vous voulez dire . Sinon il n y aurait pas d'autres méthodes en dehors de celle ci qu'on peut appliquer ?
et faire apparaitre des fractions quand on fait de l'arithmétique n'est pas judicieux !
(k+1)²+5(k+1) = k²+5k + 3k(k+1) + 6
et k(k+1) = 2p
d'où une factorisation par 6 avec l'hypothèse de récurrence
matheuxmatou @ 14-12-2020 à 00:09
ta récurrence est correcte... simplement la deuxième est inutile...
ta récurrence est correcte... simplement la deuxième est inutile...
D'accord je ferais attention à ne pas le reproduire la prochaine fois .
matheuxmatou @ 14-12-2020 à 00:11
(k+1)²+5(k+1) = k²+5k + 3k(k+1) + 6
et k(k+1) = 2p
d'où une factorisation par 6 avec l'hypothèse de récurrence
(k+1)²+5(k+1) = k²+5k + 3k(k+1) + 6
et k(k+1) = 2p
d'où une factorisation par 6 avec l'hypothèse de récurrence
Est-ce qu'il y a une autre façon de montré que (k+1)³+5(k+1)=6q oú q est un entier relatif?
Samsco @ 14-12-2020 à 00:41
Je voudrais juste savoir s'il y avais une méthode pour montrer que 6|(k³+5k) ?
Je voudrais juste savoir s'il y avais une méthode pour montrer que 6|(k³+5k) ?
Bonjour,
On peut démontrer que 6
divise
n3+5n
sans récurrence.
Est-ce bien la question envisagée dans les derniers messges ?
salut
j'ai aussi une proposition sans récurrence 
et je laisse la primauté à Sylvieg
mais surtout :
Samsco @ 13-12-2020 à 22:46
_ Supposons que Pk est vraie pour tout entier naturel non nul et démontrons que Pk+1 est vraie
_ Supposons que P'p est vraie pour tout entier naturel non nul et démontrer que P'p+1 est vraie.[
est faux !!_ Supposons que Pk est vraie pour tout entier naturel non nul et démontrons que Pk+1 est vraie
_ Supposons que P'p est vraie pour tout entier naturel non nul et démontrer que P'p+1 est vraie.[
Bonjour carpediem,
Oui, idem pour
Citation :
Soit la proposition Pk : ")
" .
Soit la proposition Pk : "
Déjà répété dans
Démonstration par récurrence
PS Je ne vais plus être disponible ce matin.
bonjour carpediem et Sylvieg
effectivement carpediem... j'avais lu en diagonale et n'avait pas relevé cette erreur de rédaction 
Sylvieg @ 14-12-2020 à 08:52
Bonjour,
On peut démontrer que
6 divise n3+5n sans récurrence.
Est-ce bien la question envisagée dans les derniers messges ?
Bonjour,
On peut démontrer que
Est-ce bien la question envisagée dans les derniers messges ?
Non , je voulais savoir s'il était possible d'écrire k³+5k sous la forme 6q avec
Samsco @ 13-12-2020 à 22:46
_ Supposons que Pk est vraie
et démontrons que Pk+1 est vraie
_ Supposons que P'p est vraie
et démontrer que P'p+1 est vraie.
_ Supposons que Pk est vraie
_ Supposons que P'p est vraie
Bonsoir,
Tu demandes s'il existe une autre méthode que la récurrence. Il t'a été répondu que oui, à toi de voir si tu donnes suite.
Par ailleurs, tu présentes ta récurrence et plusieurs remarques sont faites. Les as-tu lues ?
Quelques citations (raccourcies) :
matheuxmatou :
Citation :
k+1)²+5(k+1) = k²+5k + 3k(k+1) + 6
k+1)²+5(k+1) = k²+5k + 3k(k+1) + 6
L'hypothèse de récurrence étant : "k² + 5k est divisible par 6" , et k(k+1) pair, tu peux y arriver non ?
carpe diem te fait remarquer que la rédaction : " Supposons que Pk est vraie pour tout entier naturel non nul " ne va pas.
Idem pourla remarque de Sylvieg :
Soit la proposition Pk :
k
*.....
Non, le "quelque soit k" ne va pas.
La proposition Pk est : " 6 divise k3 + 5k
_ Soit la proposition
" " .
_ Pour n=1 , 1³+5×1=6 et 6|6 donc P(1) est vraie
_ Supposons que P(k) est vraie pour un certain entier k et démontrons que P(k+1) est vraie.
On a: (k+1)³+5(k+1)=(k³+5k)+3k²+3k+6
(k+1)³+5(k+1)=6q+3k(k+1)+6[/tex]
*Montrons que k(k+1) eat pair .
_ Si k est pair , k+1 eat impair , leur produit k(k+1) eat pair.
_ Si k est impair , k+1 est pair produit est pair.
(k+1)³+5(k+1)=6q+3×2p+6
(k+1)³+5(k+1)=6Q avec Q=q+p+1
donc P(k+1) est vraie.
Conclusion :
bonsoir,
pour moi ça va sauf dans ton début d'hérédité, après ta phrase d'introduction, tu écris encore :
k*, à supprimer
: ça oui
Samsco @ 20-12-2020 à 10:34
_
Soit la proposition
": 6|(n^3+5n))
" .
_ Pour n=1 , 1³+5×1=6 et 6|6 donc P(1) est vraie
_ Supposons que P(k) est vraie pour un certain entier k et démontrons que P(k+1) est vraie.
 \iff k^3+5k=6q~\text{avec}~q \in \mathbb{Z})
On a: (k+1)³+5(k+1)=(k³+5k)+3k²+3k+6
(k+1)³+5(k+1)=6q+3k(k+1)+6[/tex]
*Montrons que k(k+1) eat pair .
_ Si k est pair , k+1 eat impair , leur produit k(k+1) eat pair.
_ Si k est impair , k+1 est pair produit est pair.
=2p ~p \in \mathbb{Z})
(k+1)³+5(k+1)=6q+3×2p+6
(k+1)³+5(k+1)=6Q avec Q=q+p+1
donc P(k+1) est vraie.
Conclusion :)
_
"
_ Pour n=1 , 1³+5×1=6 et 6|6 donc P(1) est vraie
_ Supposons que P(k) est vraie pour un certain entier k et démontrons que P(k+1) est vraie.
On a: (k+1)³+5(k+1)=(k³+5k)+3k²+3k+6
(k+1)³+5(k+1)=6q+3k(k+1)+6[/tex]
*Montrons que k(k+1) eat pair .
_ Si k est pair , k+1 eat impair , leur produit k(k+1) eat pair.
_ Si k est impair , k+1 est pair produit est pair.
(k+1)³+5(k+1)=6q+3×2p+6
(k+1)³+5(k+1)=6Q avec Q=q+p+1
donc P(k+1) est vraie.
Conclusion :