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Niveau terminale
division euclidienne
Posté par MaZr4
Bonjour, j'ai un DM et je n'arrive pas a répondre à trouver un résonnement, voilà l'énoncé :
Soit a et b deux entiers tels que b≠0. On note q le reste dans le division euclidienne de a − 1 par b et Q le reste dans la division euclidienne de ab − 1 par b2
.
1. Déterminer q et Q dans chacun des cas suivants :
a. a = 17 et b = 5 ;
b. a = 29 et b = 12 ;
c. a = 125 et b = 17.
2. Conjecturer un lien entre Q et q puis démontrer cette conjecture.
mes recherches :
1)a) 17-1= 16 16/5=3 q= 1 17x5 -1 =84 84/25=3 Q=9
b) 29-1=28 28/12=2 q=4 29x12-1=347 347/144=2
Q=59
c) 125-1=124 124/17=7 q=5 125x17-1=2124 2124/289=7 Q=101
2) je cherche encore la conjecture
Merci de votre réponse,
MaZr4.
salut
MaZr4 @ 23-09-2023 à 13:25
1)a) 17-1= 16 16/5=3 q= 1 17x5 -1 =84 84/25=3 Q=9
b) 29-1=28 28/12=2 q=4 29x12-1=347 347/144=2
Q=59
c) 125-1=124 124/17=7 q=5 125x17-1=2124 2124/289=7 Q=101
ça m'étonnerait que 16/5 = 3
1)a) 17-1= 16 16/5=3 q= 1 17x5 -1 =84 84/25=3 Q=9
b) 29-1=28 28/12=2 q=4 29x12-1=347 347/144=2
Q=59
c) 125-1=124 124/17=7 q=5 125x17-1=2124 2124/289=7 Q=101
donc de nombreuses égalités fausses
il est préférable d'écrire : 15 = 5 * 3 + 1 donc q = 1 (et idem pour les autres)
en écrivant un peut mieux les choses tu devrais voir un lien entre Q et Q
PS : une notation bien étrange puisqu'en général q désigne le quotient et r désigne le reste
enfin une aide : quand on ne voir rien sur des exemples on peut essayer de raisonner théoriquement en posant :
a - 1 = bq + r avec r vérifiant ...
puis regarder ce qui se passe avec ab - 1
bonjour,
je m'excuse pour mes équations je ne savais pas comment les mettre sur le site, mais donc les restes sont indiqués a) q=1 Q=9 b) q=4 Q=59 c) q=5 et Q=101 et pour la conjecture j'ai trouver que les quotients sont égaux pour a) 3 et 3 b) 2 et 2 et la c) 7 et 7 donc j'ai fait comme vous l'avez dit que a=b*7 + q et a*b-1=b2*7+Q
donc on fait passé les 7 de l'autre coté et les dividendes de l'autre pour que ca donne : 1/7=a*b + b*q et 1/7=(a*b-1)(b2 + Q) et ensuite faire une égalité
mais je ne suis pas sûr de mes calculs
en arithmétique on ne fait très certainement pas de division puisqu'il est très rare que ça "tombe juste"
MaZr4 @ 23-09-2023 à 14:17
et pour la conjecture j'ai trouver que les quotients sont égaux pour a) 3 et 3 b) 2 et 2 et la c) 7 et 7 simplement (me) dire que tu trouves des restes égaux dans les trois cas
donc j'ai fait comme vous l'avez dit que a=b*7 + q et a*b-1=b²*7+Q oui mais il faut le faire maintenant dans le cas général et ce n'est pas a mais a - 1
donc on fait passé ne veut rien dire les 7 de l'autre coté et les dividendes de l'autre pour que ca donne : 1/7=a*b + b*q et 1/7=(a*b-1)(b2 + Q) et ensuite faire une égalité
mais je ne suis pas sûr de mes calculs
ne me raconte pas ce que tu fais !!
et pour la conjecture j'ai trouver que les quotients sont égaux pour a) 3 et 3 b) 2 et 2 et la c) 7 et 7 simplement (me) dire que tu trouves des restes égaux dans les trois cas
donc j'ai fait comme vous l'avez dit que a=b*7 + q et a*b-1=b²*7+Q oui mais il faut le faire maintenant dans le cas général et ce n'est pas a mais a - 1
donc on fait passé ne veut rien dire les 7 de l'autre coté et les dividendes de l'autre pour que ca donne : 1/7=a*b + b*q et 1/7=(a*b-1)(b2 + Q) et ensuite faire une égalité
mais je ne suis pas sûr de mes calculs
rédige-le ici proprement (avec des égalités) parce je ne comprends rien
on part de l'égalité de la division euclidienne
et on détermine la division euclidienne de ab - 1 par b² très proprement
PS : j'ai changé les notations pour coller avec les notations usuelles
et je ne comprends pas tu parles des restes q et Q dans ton premier post puis des quotients q et Q ensuite ...
qu'en est-il exactement ?
Bonsoir,
Il me semble que l'énoncé est mal recopié :
q et Q sont des quotients.
Voir 
Division euclidienne
bon allez pour finir tout de même ... vu que le demandeur semble avoir disparu ...
or
ce qui permet de conclure ...
Bonjour tetras,
Oui, on cherche à démontrer la conjecture faite au 1).
Comme celle-ci n'a jamais été précisée, je la confirme :
Les quotients sont égaux.
Dans ce but, carpediem a écrit la définition de la division euclidienne de a-1 par b.
Il la transforme ensuite avec l'objectif de faire apparaître la division euclidienne de ab-1 par b2.
non !
comme l'a rappelé Sylvieg ce qui nous intéresse c'est les quotient pas les restes et on se moque de leur valeur mais ils doivent respecter la condition pour que la division soit euclidienne
EX :
15 = 2 * 4 + 7 est une division de 15 par 2 (ou 4) mais n'est pas la division euclidienne de 15 par 2 (ou 4)
pourquoi ?
Je me permets une suggestion à tetras :
Traiter les exemples du 1).
C'est à dire écrire les six divisions euclidiennes correspondant aux valeurs des a), b), et c).
@ Sylvieg : j'ai fait les divisions du 1) et conjecturé que q=Q
7>2
7>4
donc 7 ne peut pas être le reste d'une division de 15 par 2 ou 4.
j'ai le niveau cm1; cool 
pour ce qui est de terminer la démonstration...
br+b-1
0
ça ce serait dans le cas o'u le reste de la division de ab-1 par b² serait nul
on autait ab-1=bq²