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Dm complexe

Posté par
Zlo
14-09-10 à 15:28

Bonjour , voilà je suis en Peip polytech' et les maths s'avèrent un peu compliqué. je serai trés reconnaissante si vous me donnez quelques pistes pour cet exo


Exercire 1

Résoudre (z-i)^5 = ( z+i) ^5. Quel est le nombre de solutions ?

J'ai pensé à ça

(z-i)^5 /(z+i)^5 = 1
(z-i)/(z+i) = 1 car seul 1^5 = 1
((z-i)/(z+i)) * ((z-i)/(z- i))=1
z²-2iz-1 = z²+1
et là j'obtiens -2iz = 2 Soit -1/i =z et je trouve ce résultat trés bizarre  

Posté par
Camélia Correcteur
re : Dm complexe 14-09-10 à 15:32

Bonjour

Le début est OK.

Mais fais attention, dans C l'équation Z^5=1 a d'autres solutions que Z=1... Les racines de l'unité, ça te rappelle quelque chose?

Posté par
Zlo
re : Dm complexe 14-09-10 à 15:34

Euh non mis à part racine carré de 1. Sinon je vois pas. On fait ça en terminale ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Dm complexe 14-09-10 à 15:37

Tu n'as jamais vu un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique, ou exponentielle? Si vraiment tu n'as jamais vu rien de tel, l'exo est hors atteinte!

Posté par
Zlo
re : Dm complexe 14-09-10 à 15:39

Excuse moi je n'avais pas compris si j'ai vu sa ! mais je ne vois pas où sa pourrait m'aider ! :s

Posté par
totti1000
re : Dm complexe 14-09-10 à 15:44

Bonjour Zlo,

Une méthode bourrin (qui vaut ce qu'elle vaut...) :
(z-i)^5-(z+i)^5=z^5-5iz^4-10z^3+10iz^2+5z-i-(z^5+5iz^4-10z^3-10iz^2+5z+i)=-10iz^4+20iz^2-2i=2i(-5z^4+10z^2-1).

On doit donc résoudre -5z^4+10z^2-1=0.

En posant Z=z²...

Posté par
Camélia Correcteur
re : Dm complexe 14-09-10 à 15:45

Tu veux résoudre l'équation Z^5=1. Pose Z=re^{it} et regarde... Je te rappelle que 1=1\times e^{2ik\pi} où k est un entier.

Posté par
totti1000
re : Dm complexe 14-09-10 à 15:46

Oupssss, encore une fois, j'ai pas actualisé avant de poster...

Bonjour Camélia

Posté par
Camélia Correcteur
re : Dm complexe 14-09-10 à 15:49

Bonjour totti1000. C'est aussi une bonne solution! Mais tôt ou tard, il y aura des arguments à déterminer...

Posté par
Zlo
re : Dm complexe 14-09-10 à 15:52

Camélia tu vas peu etre penser que je suis nulle mais je suis perdue. :s

Merci à totti ta réponse est beaucoup plus simple mais peu etre trop bourrin comme tu dis !   

Posté par
totti1000
re : Dm complexe 14-09-10 à 15:53

Oui effectivement, et passer par les racines de l'unité est quand même plus élégant...
De plus si ici ce n'était qu'une puissance de 5, mais si ça avait été 100...

Posté par
Zlo
re : Dm complexe 14-09-10 à 16:00

C'est sur mais je comprend pas en passant par les racines comment je peux faire vraiment .

Posté par
Kazolix
re : Dm complexe 15-09-10 à 23:10

Bonsoir à tous,

Je dois moi aussi faire ce Dm et j'ai essayé de poser Z = (z-i)/(z+i) et résoudre l'équation Z5=1 comme l'a suggéré Camélia.
Je trouve au final 5 arguments ( et donc cinq solutions à l'équation évidemment): 0, 2/5 , 4/5 , 6/5 et 8/5.
Mais quand je pose ensuite (z-i)/(z+i) = ei2/5 je n'arrive pas à retomber sur un "z" de la forme z = a+ib ou z = rei... c'est grave :s

Posté par
Camélia Correcteur
re : Dm complexe 16-09-10 à 14:25

Bonjour Kazolix

Le début est OK (sauf que la première solution est 1 et pas 0) J'appelle X une des solutions.

\frac{z-i}{z+i}=X\\ z-i=X(z+i)\\ z(1-X)=i+iX

D'abord la solution X=1 est impossible, puisque z-i\neq z+i. Donc si X est l'une des 4 autres:

z=i\frac{1+X}{1-X}

\frac{1+e^{it}}{1-e^{it}}=\frac{e^{-it/2}+e^{+it/2}}{e^{-it/2}-e^{it/2}}=\frac{\cos(t/2)}{-i\sin(t/2)}

Je te laisse donner à t les valeurs qu'il faut... et vérifier mes calculs!

Posté par
Camélia Correcteur
re : Dm complexe 16-09-10 à 14:26

Désolée, j'ai mal lu; tu donnais les arguments, donc c'est bien 0 le premier!



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