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DM Conjugues nombre complexes

Posté par
quinquin09 10-10-15 à 11:14

Voila j'ai un exercice d'un DM que je ne comprend pas du tout, je n'arrive pas a voir le commencement de l'exercice, pourriez vous meclairer un peu:
Exo: Soient z et z' deux nombres complexe de formes algébriques: z=a+ib et z'=a'+ib',On note aussi, z#0 , Z=z'/z
1) Montrer les resultats suivants:
(a) (z+z')<---une barre les recouvres=z(barre) + z' (barre)
(b) z*z'<---une barre les recouvres= z'(barre) * z'(barre)
(c) Z(barre) = z'(barre)/z

Merci d'avance

Posté par
Jalexre : DM Conjugues nombre complexes 10-10-15 à 11:40

Bonjour

on a

\overline{z+z'} = \overline{(a+ib)+(a'+ib')} = \overline{(a+a')+i(b+b')} = (a+a')-i(b+b')


et

\overline{z}+\overline{z'} = \overline{a+ib}+\overline{a'+ib'} = (a-ib) + (a'-ib') = (a+a') - i(b+b')

donc  

\overline{z+z'} = \overline{z}+\overline{z'}

Je te laisse faire une démarche similaire pour b) et quand tu auras trouvé, on parleras de c)
qui est plus subtile si on veut éviter des calculs fastidieux...

Posté par
quinquin09re : DM Conjugues nombre complexes 10-10-15 à 11:56

Merci pour la démarche, pour le b) je trouve (aa'+bb')-i(a'b+b'a)

Posté par
Jalexre : DM Conjugues nombre complexes 10-10-15 à 12:15


On devrait trouver (aa'-bb') - i(a'b+b'a) à la fois pour \overline{z\cdot z'} et pour \overline{z}\cdot\overline{z'}...

Alors pour c), on a Z = \frac{z}{z'}, donc z'Z = z.
Considère le conjugué dans l'égalité en utilisant b). Que peut-on déduire pour \overline{Z} ?

Posté par
Jalexre : DM Conjugues nombre complexes 10-10-15 à 12:16

Pardon, c'est l'inverse : Z = \frac{z'}{z}, donc zZ = z'...


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