2Un > 0
Un+1-Un est donc du signe de -Un^2
-Un^2 est < 0
Donc Un+1-Un <0
La suite Un est donc décroissante

PAS DU TOUT !

Il faut vraiment étudier le signe de a-u(n)² et celui du dénominateur 2u(n).

a est positif
-Un^2 negatif
Le numérateur est négatif

2Un est positif

Mais il ne s'agit pas du produit de a par -un²...
Il s'agit d'une soustraction.

Un nombre négatif sur un nombre positif = negatif

Je te parle du signe du numérateur ! Le numérateur est une soustraction, or toi tu le traites comme un produit.

Comment est ce que je trouve le signe de a-Un^2?

Utilise la question 3

Le numerateur est positif?

Dans le question tu as montré que pour tout entier n, rac(a) < u(n) < a.
Donc a < u(n)² et ainsi a-u(n)² < 0.
Donc le numérateur est négatif mais pour cette raison précise.

Donc comme le numérateur est négatif et que le dénominateur est positif alors Un est décroissante

voilà

Comment est ce que je fais pour demontrer qu'elle est convergente vers une limite l? Je fait la limite de Un?

Applique le théorème de convergence monotone pour démontrer qu'elle converge.

Ensuite pour trouver sa limite utilise la méthode que tu as du voir en cours : écris la relation de récurrence entre u(n+1) et u(n) et fais tendre n vers +inf.

Lin Un=l
Lim Un+1=l

Oui maintenant écris la relation de récurrence et remplace.

Qu'est ce que c'est la relation de recurrence?

Bah la définition de ta suite ! Le lien entre u(n+1) et u(n)

Un+1=f(Un)

Voilà.

Un+1= 1/2 *((a/Un)+Un)

oui

= (a/2Un)+(Un/2)
Lim quand n tend vers +linfini de (a/2Un)+(Un/2)
Lim a/2Un = 0
Lim Un/2= 0
Lim f (Un) =0

Mais non !!
Comment pourrais tu connaitre les limites de a/2un et de un/2 sans connaitre la limite de un ? C'est incohérent.

Que devient la formule de récurrence si n tend vers +inf ?

(A/+l'infini)+(+l'infini/2)?

Mais non enfin !
Tu as écrit toi même que limu(n) = l et que limu(n+1) = l... alors pourquoi tout à coup cela devient +inf ?

=(a/l)+(l/2)

oui mais = quoi ?

= (2a/2l)+(l^2/2l)
= (2a+l^2) / (2l)
=l

Par contre si tu remplaces un par l ça donne a/2l + l/2 et donc l'équation est l = a/2l+l/2 c'est à dire l = a/2l+l²/2l... continue

= (a+l^2)/2l

oui mais résous l'équation maintenant

L = (a+l^2)/2l
2l^2= a+l^2

oui continue

L = (a+l^2)/2l
 2l^2= a+l^2
2l^2 + a = l^2
L = (2l^2 + a) / l
L = l^2 +  a

Mais non !
Si 2l² = a+l², que vaut l² ?

A/2?

L^2 = 2a
L = a

mais non !

passe simplement l² de l'autre côté !

L^2=a

oui continue

L=a/l

Oh lala ...

C'est pourtant une équation toute simple !

Tu cherches un nombre L dont le carré vaut a ! De qui s'agit il ?

Je ne vois pas?

Le nombre dont le carré vaut a est racine de a ... C'en est la définition.

Donc l=racine carrée de a

Mais est ce que dire sa ne repond pas a la question suivante?

quelle question suivante ?

La il fallait juste demontrer que un était convergente vers une limite l
Et la question dapres demander de demontrer que l verifie l= 1/2 *((a/l)+l). En déduire l

Euh... on vient de le faire, non ?