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dm fonctions
L'objectif est de définir une suite permettant le calcul approché de racines carrées par des opérations simples (divisions,sommes,produits).
Soit a∈[1;+∞[ et f la fonction f:]0;∞[→R,x→1/2 × ((a/x)+x).
On définit la suite (un) par u0∈[√a;a] et un+1=f(un)
1. Dresser le tableau de variations de la fonction f.
--> comment est-ce que je dérive f alors qu'il y a la lettre a qui apparaît? Quelles sont les valeurs que je devrais mettre en haut du tableau dans la ligne x?
2. Calculer f(√a) et f(a) en faisant apparaıtre ces valeurs dans le tableau précéedent. En déduire : pour x∈[√a;a], f(x)∈[√a;a].
--> le debut de la question je n'y arrive pas et la seconde partie je ne la comprend pas
3. Démontrer par récurrence que pour tout n∈N, un∈[√a;a]. (on a ainsi prouvé que un=/0, donc que la suite est bien définie)
--> je ne l'ai pas encore fait maisnje doit pouvoir me débrouiller
4. Démontrer que la suite (un) est décroissante, puis convergente vers une limite ℓ.
--> comment est-ce quebje fait?
5. Démontrer que ℓ vérifie ℓ=1/2 ((a/ℓ)+ℓ). En déduire ℓ.
--> je suis perdu
6. Dans cette question (seulement), a=2 et u0=2. Exprimer u3 sous forme d'une fraction. A combien de décimales u3 approche-t-elle √2?
-->
7. Dans cette question on s'intéresse à la vitesse de convergence de la suite (un). On introduit, pour n∈N, vn=un−√a qui mesure l'écart entre un et √a. On suppose que u0 approche √a par excés à 0,5 près : 0 <= v0 <= 0,5.
--> pour a, b et c je n'ai pas vu sa en cour...
a)Démontrer que pour tout n∈N, vn+1=v^2n / 2un. En déduire : vn+1 <= v^(2^n).
b)Par récurrence, prouver que pour tout n∈N, 0 <= vn < 1 / 2^(2^n)
c)En déduire v4<10−4. A partir de quel rang n peut-on dire la suite (un) approche √a avec une précision de 1000 décimales?cocolovenouveau Messages: 8Inscrit le: 28/10/2013 à 11:24profil: Elève
Re-salut.
1) Tu dérives en prenant la lettre a pour ce qu'elle est : une constante. En haut ? Ben les valeurs qui annuleront f'(x)... elles dépendront évidemment de a, tu vas voir.
2) Qu'as-tu trouvé pour f(rac(a)) et f(a) ?
4) Etudie le signe de u(n+1)-u(n) ou alors essaye une récurrence.
5) Mais non tu as déjà du faire ça des tas de fois en cours. Ecris la formule de récurrence entre u(n+1) et u(n) et fais tendre n vers +inf.
1. Je pense pas faire la bonne chose car je trouve 0 pour la dérivé
2. Comme je n'ai pas a je ne peu pas calculer
4. Je n'ai aucune valeur, j'ai juste un+1=f(un)
Je ne comprend vraiment rien à tout l'exercice...
Je ne sais pas comment faire le tableau a partir de cette expression ensuite.
Faut il prendre en compte le a ou juste le x ?
Je trouve que fx est decroissant sur x croissant
"fx est décroissant sur x croissant"... qu'st ce que ça veut dire ???
Ecris ta dérivée plutôt sous la forme 1/2*(1-a/x²) et donc = (x²-a)/2x² maintenant tu peux étudier son signe dans un tableau, comme d'habitude.
Mais non ! Comment peux tu trouver que f' est négative ? Tu as pourtant trouvé f'(x) donc tu vois bien que ça n'est pas toujours négatif !
une constante... peu importe laquelle... fais comme si a valait 2 ou 3 ou 4 ... sauf que tu l'écris a
D'accord, merci beaucoup
Je pense avoir compris alors :
Donc quand x= racine carré de a ou x=-racine carré de a, f'(x) =0
Alors il y a trois racines : - racine carré de a ; 0 ; racine carré de a
Je pense que c'est
X. - infini - racine carre de a 0. + racine carre de a. + infini
F'(x) - 0. +. 0. - 0. +
Petchko44 peut tu me faire un resumer de la question un et deux parce que moi je n'ai pas vraiment compris 
Pour la question 1 si j'ai bien compris
La dérive c'est 1/2 × ((1-a)/x^2) = (x^2-a)/2x^2
Poyr le tableau c'est
X 0 va +l'infini
F'(x) || - ○ +
F (x) décroissant|croissant
2. F (va)= 1/2 ((a/va)+x)
=(a/2va)+(1/2)
=(va+1)/2
F (a)= 1x/2
Déduction : f (va)=va
F (a)=(a+1)/2
?
Oui c'est ce que jai mis en faite, va = racine carrée de a
Pourble reste est ce que c'est juste?
Par contre dans la question 2 ils demandent de calculer f (va) et f (a) et de le mettre dans le tableau mais dans le tableau je n'ai que f (va)?
Oui c'est juste.
Eh bien dans le tableau tu intercales simplement a sur la ligne x et tu fais un renvoi vers la ligne f(x) où tu places la valeur de f(a).
Donc
X 0 va a +l'infini
F'(x) || - ○ + ○ -
F (x) décroissant|croissant|décroissant
Est ce que c'est sa?
3. J'ai fait sa
Soit n € N
P (N) va <=Un <=a
Initialisation
U0 €[va; a]
Donc va<=U0 <=a
Pour n=0 la propriété est vérifier
Hérédité
Soit n € N, on suppose que la propriété est vraie
Montrons qu'elle est vraie au rang n+1
Va<=U0 <=a
F (va)<=f(U0)<=f(a)
Va <=Un+1<=a
Donc P (n+1) est vraie
Conclusion: la propriété est initialiser et héréditaire donc la propriété est vérifier pour tout entier n
Donc c'est bon pour la 3?
4. Je doit faire un+1 - un mais comment est ce que je fais sans valeurs? Je n'ai que un+1=f (un)?
NON F est la fonction qui à u(n) associe u(n+1) donc tu peux exprimer u(n+1) - u(n) en fonction uniquement de u(n)
f(x) = 1/2*(a/x+x) ok ?
Donc u(n+1) = 1/2*(a/u(n)+u(n)) et ainsi u(n+1) - u(n) .... (réduis au même dénominateur)
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