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DM Math : Lecon complexe

Posté par
tsa13 07-09-10 à 16:50

Bonjour,

Pouvez vous m'aidez pour mon exercice ?  SVP & Merci.

Z^6 - z^3 cos teta + 1 = 0

en rcherchant les racines, décomposer le trinomes en produit de 3 trinomes du second degre a coef reels. Pour quelles valeurs de teta les images des racines de l'équation sont- elles les sommets d'un hexagone regulier ou d'un tirangle équilatérale ??


Quelles sont les étapes pou réaliser l'exo ?

Posté par
veledare : DM Math : Lecon complexe 07-09-10 à 17:28

bonjour,
tu peux poser X=Z3
tu es amené à résoudre une équation du second degré en X,tu obtiens deux solutions complexes conjuguées X' et X"
il reste à résoudre Z^3=X' et Z^3=X"
les calculs ne semblent très bien s'arranger ,il ne manque pas un 2 pour le coefficient de X?

Posté par
tsa13re : DM Math : Lecon complexe 08-09-10 à 16:38

Z^6 - 2z^3 cos teta + 1 = 0

oui il y a bien un 2

Posté par
tsa13re : DM Math : Lecon complexe 08-09-10 à 16:40

Dsl mais je ne comprends pas comment me rapporterà une équation du second degrés ?

de l'aide svp et Merci.

Posté par
tsa13re : DM Math : Lecon complexe 08-09-10 à 16:45

Je pense finalement avoir compris je poste ma réponse ..

Posté par
tsa13re : DM Math : Lecon complexe 08-09-10 à 17:01

Alors ,

Z^6 - z^3 cos teta + 1 = 0

En supposant que X = Z^3
D'ou :
Z² - 2 cos teta + 1

Recherche de delta :
b² - 4 AC =/ ( 2 cos teta )² - 4 fois 1 fois 1

D'ou : 4 c( cos Teta ) ² - 4

Ensuite je me pose la question, faut-il soit passer la méthode du discriminant classique ou passer par celle qu'on nous enseigne quand il y a des nombres complexes ici il n'y a ps de i donc je dirai classique non ??

Posté par
veledare : DM Math : Lecon complexe 08-09-10 à 21:48

désolée ,j'étais absente
avec un 2 cela est bien plus sympathique
b^2-4ac=4(cos^2(\theta)-1)=-4sin^2(\theta)=(i2sin(\theta))^2
les solutions de l'équation du second degré sont donc
x_1= cos(\theta)+isin(\theta)=e^{i\theta} x_2=\bar {x_1}=cos(\theta)-isin(\theta)=e^{-i\theta}
il reste à résoudre
z^3=e^{i\theta}
et
z^3=e^{-i\theta}
tu vas avoir 6 solutions

Posté par
veledare : DM Math : Lecon complexe 08-09-10 à 23:19

*deux à deux conjuguées si le discriminant -sin^2(\theta)est non nul,les images  M_ides z_isolutions formant les sommets d'un hexagone sur le cercle trigonométrique puisque les z_isont de module 1,les points images de deux solutions conjuguées étant symétriques par rapport à l'axe des réelstu fais une figureje trouve que l'hexagone est régulier pour\theta=\frac{\pi}{2}
*si le discriminant est nul(\theta=0(\pi)) l'équation du second degré à une racine double x_1=x_2=cos(\theta) on en déduit une seule équation z^3=x_1donc 3 points images sur le cercle trigonométrique
sicos(\theta)=1on a à résoudre z^3=1ce qui donne les racines cubiques de l'unité 1,j,j²les images sont les sommets d'un triangle équilatéral
sicos(\theta)=-1....
le produit des trinômes du second degré à coefficients réels demandé est   sauf erreur de ma part
(z^2-2cos(\frac{\theta}{3})z+1)(z^2-2cos(\frac{\theta+2\pi}{3})z+1)(z^2-2cos(\frac{\theta+4\pi}{3})z+1)
bon courage  

Posté par
tsa13re : DM Math : Lecon complexe 09-09-10 à 18:33

je vous remercie je note tout ca et si j'ai un souci je demande.

Posté par
tsa13re : DM Math : Lecon complexe 09-09-10 à 18:38

Ca me parait complique j'étudie tout ca :

par contre Pour quelle valeur de teta les images des racines de l'équation sont-elles les sommets d'un hexagone régulier ou d'un triangle équilatéral ?

svp et merci.

Posté par
tsa13re : DM Math : Lecon complexe 09-09-10 à 18:41

Ha dsl je n'avais pas lu jusqu'au bout. J'esp pouvoir comprendre ca parait assez compliqué.. Mais je vous remercie ca parait détailler.

Posté par
tsa13re : DM Math : Lecon complexe 09-09-10 à 18:44

Juste une question :
b² - 4AC

Ou est le - 4AC ?

svp et merci

Posté par
veledare : DM Math : Lecon complexe 09-09-10 à 22:55

z^2-2zcos(\theta)+1 ,a=1,b=-2cos(\theta),c=1=>b^2-4ac=4cos^2(\theta)-4=-4sin^2(\theta)=(2isin(\theta))^2

Posté par
tsa13re : DM Math : Lecon complexe 10-09-10 à 13:23

Comment fait-on pour avoir les racines n° de
e ^(iTeta) ??

svp et Merci;

Posté par
tsa13re : DM Math : Lecon complexe 10-09-10 à 14:29

je pense avoir trouver par contre pour les racines n° /

au niveau de la premiere équation ce n'est pas plutot : 2Pi/3 ??

svp et merci

Posté par
tsa13re : DM Math : Lecon complexe 10-09-10 à 14:50

Bilan :

Jusqu'au quation je pense avoir compris, par contre je trouve 2Pi/3  2 fois donc je pense que la premiere éqution il manque un 2 ??

Heu pour la suite je ne vois pas l'hexagone et les valeurs de teta, pouvez vous me les représenter sur le cercle trigo ?

SVP ,Je vous en remercie.

Posté par
veledare : DM Math : Lecon complexe 10-09-10 à 20:00

de quelle équation parles-tu?


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