Bonjour, j'ai un DM à faire, je suis un peu bloqué au préliminaire et à partir de la question 2. Si quelqu'un à un peu de temps à m'accorder... Merci d'avance.

Ne vous démotivez pas devant la longueur de l'énoncé. Au fait le sujet est issu d'Ecricome 2000 voie S.
Mes réponses sont présentes en desous de chaque question.


Soit p un réel vérifiant p appartenant à]0,1[.

Une entreprise dispose de N copies d'un logiciel. Une proportion p de ces disquettes est infectée par un virus. Il est malheureusement impossible de discerner une copie saine d'une copie contaminée.

On suppose que le nombre N peut s'écrire N = nm, n et m étant deux entiers strictement supérieurs à 1.

Un des responsables du service statistiques propose la méthode suivante pour assainir le lot :

- Les N copies initiales forment la génération 0.

- On prélève n disquettes au hasard et avec remise dans la génération 0, on les copie chacune en m

exemplaires.

Les nm = N disquettes obtenues constituent la génération 1.

- On procède de la même façon pour fabriquer la génération 2 à partir de la génération 1, la génération 3 à partir de la génération 2, etc.

- Durant tout le processus, la copies d'une disquette saine est saine, celle d'une disquette contaminée est automatiquement contaminée.

Le statisticien pense que si la proportion p initiale est faible, on a de bonnes chances d'obtenir un lot sain après un assez grand nombre d'opérations. L'objet de ce problème est de vérifier ou d'infirmer cette conjecture.

Préliminaire

On considère un couple de variables aléatoires (X,Y) définies sur un espace probabilisé.

On suppose que u et t sont deux entiers strictement positifs.

On suppose que X prend u valeurs réelles distinctes x1,x2, • • • , xu et que Y prend t valeurs réelles distinctes y1,y2,---,yt.
g désigne une fonction définie sur R.

Pour tout entier j vérifiant 1 ≤ j ≤ u, on définit le réel Ej par :
    i=t
Ej=g(yi)P((Y=yi)|(X=xj))
    I=1
On note E(g(Y)) l'espérance de la variable aléatoire g(Y).
                        
                         j=u
Démontrer que : E(g(Y)) = ∑EjP(X=xj)
                         j=1

fin du préliminaire.

Dans tout le problème k désigne un entier naturel.

On note Tk le nombre de disquettes infectées obtenues parmi les n disquettes tirées dans la génération k pour constituer la génération k +1.

1. a)) Déterminer la loi de T0, puis donner son espérance et sa variance.

To suit une loi binomiale de taille n et de paramètre p, donc E(T0)= np  et V(T0)=np(1-p)

b) Quel est l'ensemble Tk(Omega) des valeurs prises par la variable aléatoire Tk?

Tk(omega)= les entiers entre 0 et n

c) Pour j décrivant Tk(Omega), déterminer la loi conditionnelle de la variable T(k+1) sachant que l'événement (Tk =j) est réalisé.(On justifiera soigneusement qu'il s'agit d'une loi binomiale de paramètre j/n (taille à déterminer).

Je trouve que P((T(k+1) =k)|(Tk=j))= (k parmi n)(j/n)^k(1-j/n)^(n-k)


2. a) En déduire, à aide du préliminaire, une relation entre E(Tk+1) et E(Tk).
b) Montrer alors que pour tout entier naturel k, on a : E(Tk) = np.