Salut, il faut que ailles plus loin, essayes d'avoir des résultats sous la forme de puissance de cosinus et sinus seulement.

Bonjour.

Il est fréquent de chercher à exprimer cos(3a) en fonction de cos(a) seul et sin(3a) en fonction de sin(a) seul.

Ton résultat : cos(3a) = cos(a)[ 1 - 4sin²(a)], se ramène rapidement à ceci.

Comme sin²(a) = 1 - cos²(a), tu as :

cos(3a) = 4cos³(a) - 3cos(a)

De même, tu trouveras :

sin(3a) = 3sin(a) - 4sin³(a)

Si l'on cherche ce même résultat pour cos(4a) :

cos(4a) = 8cos⁴(a) - 8cos²(a) + 1

Aussi, pour t'entraîner je te conseil d'essayer de faire le passage inverse avec les formules d'Euler.

Ce sera bénéfique pour toi.

Ok, donc:

cos(3θ) =...
        = cos(θ) [ 1 - 4sin²(θ) ]
        = cos(θ) - 4sin²(θ)cos(θ)

sin(3θ) =...
        = sin(θ) [ 2cos²(θ) + cos(2θ) ]
        = 2cos²(θ)sin(θ) + sin(θ)cos(2θ)

cos(4θ) =...
        = cos²(θ) [1 - 4sin²(θ)] - sin²(θ) [2cos²(θ) + cos(2θ)]
        = cos²(θ) - 4sin²(θ)cos²(θ) - 2cos²(θ)sin²(θ) - sin²(θ)cos(2θ)
        = cos²(θ) - 6sin²(θ)cos²(θ) - sin²(θ)cos(2θ)

sin(4θ) =...
        = cos(θ)sin(θ) [ 2cos²(θ) + cos(2θ) + 1 - 4sin²(θ) ]
        = 2cos²(θ)cos(θ)sin(θ) + cos(2θ)cos(θ)sin(θ) + cos(θ)sin(θ) - 4sin²(θcos(θ)sin(θ)

C'est ça ?

Non, as tu lu le message de raymond ci-dessus ?

Bonjour,

Si une fois cet exercice fini tu veux d'autres exo de trigo d'entrée en prépa : trigonometrie prépération a PCSI
Il y a quelques méthodes à connaître (que l'on t'apprendra à la rentrée, ne t'en fais pas ce ne sont pas des exercices obligatoires, c'est juste pour si tu veux prendre de l'avance).

Sinon, ceci pourra t'aider :

à connaître absolument : cos(2t)=cos²(t)-sin²(t)
                         sin(2t)=2cos(t)sin(t)
Tu peux utiliser ces deux formules pour réduire tes résultat 1* et 2*.
Ensuite toutes les formule cos(nt) et sin(nt) avec n entier naturel, tu peux les retrouver de façon systématique par la relation :
cos(nt)+isin(nt)=[cos(t)+isin(t)]^n    comme l'a indiqué leFou précédemment.
(pour n=3 ou 4 on peut aussi procéder comme tu l'as fait, le nombre de calcul est à peu près le même.)

Bon courage

Merci beaucoup pour toutes vos réponses ! Par contre j'ai une petite question: dans l'énoncé, ils demandent d'exprimer ces 4 expressions en fonction de cos(θ) et sin(θ)
Donc si je met cos(3θ) = 4cos3(θ) - 3cos(θ) ils ne vont peut-être pas accepter, qu'en pensez vous ?

Merci !

Si, mais c'est plutôt

Par contre je n'arrive pas à retrouver le resultat de raymond : cos(4) = cos(4a) = 8cos4(a) - 8cos2(a) + 1
Pourtant, j'ai tout essayé ...

Je me contenterais de citer^^

Oui, je sais ça, je noircis des feuilles depuis tout à l'heure et je ne trouve pas

os(4θ) =...
        = cos²(θ) [1 - 4sin²(θ)] - sin²(θ) [2cos²(θ) + cos(2θ)]
        = cos²(θ) - 4sin²(θ)cos²(θ) - 2cos²(θ)sin²(θ) - sin²(θ)cos(2θ)
        = cos²(θ) - 6sin²(θ)cos²(θ) - sin²(θ)cos(2θ)


Bah avec ça, tu remplaces le et le

et c'est finit.

En fait, j'ai essayé avec les résultats de Raymond :

cos(4a) = cos(3a+a)
        = cos(3a)cos(a) - sin(3a)sin(a)
        = cos(a) [ 4cos^3(a) - 3cos(a) ] - sin(a) [ 3sin(a) - 4sin^3(a) ]

Et après je suis bloqué ..

Bon en fait j'ai réussi, et sinon je trouve sin(4a) = -8sin^3(a)cos(a) + 4sin(a)cos(a)

C'est ça ?

Bonsoir -7v,

Oui c'est juste

MERCI A TOUS !!

Bon week end.

Bon, désolé de reposter, mais là je crois que c'est carrément un problème d'énoncé..
Ils demandent à partir de: exp(iθ) = cos(θ) + isin(θ) et exp [i(a+b)] = exp(ia)exp(ib)
d'exprimer exp(a+b) en fonction de cos(a+b) et sin(a+b)

Je suis vraiment perdu ..

Effectivement, il semble que ce serait plutôt :

" d'exprimer exp[i(a+b)] en fonction de cos(a+b) et sin(a+b) " ?