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Niveau Maths sup
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écriture en base 10

Posté par
robby3 07-10-23 à 15:40

Bonjour à tous,

Voici l'exercice sur lequel je bute :

"Tout entier premier à 10 admet un multiple dont l'écriture en base 10 n'est composé que de 1".

Voici ce que j'ai fait ;

Je suis parti de la fin.
J'appelle A le nombre entier premier avec 10.
J'appelle n le nombre de chiffre en base 10 que contiendra le multiple de A.
J'ai regardé comment s'écrit un nombre composé que de 1 en base 10.
Soit N un tel nombre.
On alors N=1+10+10^2+10^3+...+10^n=\sum_{k=0}^{k=n}{10^k}=\frac{10^{n+1}-1}{9}

Il faut alors que j'arrive à montrer que si A est premier avec 10 alors il existe un entier k dans Z tel que A x k s'écrive comme N.

Je ne vois pas comment continuer.
J'ai essayé de transcrire A est premier à 10 en écrivant Bezout mais je n'ai rien trouvé de concluant.
Bref, je patauge.

Auriez-vous une idée ou une piste de réflexion à me donner s'il vous plait ?

Bonne journée et merci d'avance pour vos réponses.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : écriture en base 10 07-10-23 à 16:46

Rebonjour,
L'exercice vient d'où ?
Il est demandé de démontrer la propriété ?
Il n'y a pas d'autres questions avant ?

Posté par
lakere : écriture en base 10 07-10-23 à 16:59

Bonjour,
Je me permets de poster un lien ici : 2023 et répunit
Pas tout à fait le même sujet mais qui peut donner de bonnes idées.

Posté par
carpediemre : écriture en base 10 07-10-23 à 17:25

salut

ça me semble compliqué en prépa ...

soit m un entier

les multiples de m sont les entiers km avec k  € N

supposons que km soit un rep-unit pour un certain k ; alors il existe un entier n tel que km = \sum_0^n 10^p

alors km - 10 \sum_0^{n - 1} 10^k = 1 et donc m est premier avec 10

par contraposée : s'il n'existe pas un multiple de m qui soit un rep-unit alors m n'est pas premier avec 10

Posté par
lakere : écriture en base 10 07-10-23 à 17:42

Citation :
"Tout entier premier à 10 admet un multiple dont l'écriture en base 10 n'est composé que de 1".

En l'occurrence, il me semble qu'une solution consiste à en exhiber un (le multiple).
Et j'insiste avec ce lien origine du précédent (2021 en lieu et place de 2023) : Théorème de Fermat

Posté par
Sylvieg Moderateurre : écriture en base 10 07-10-23 à 17:53

Je pense que l'énoncé est incomplet.
D'ailleurs, ce n'est pas un énoncé qui est écrit dans le premier message, mais une propriété sans question qui l'accompagne.

Il y a un manière de la démontrer, mais sans exhiber.
Poser un = 1 + 10 + 102 + ... + 10n.
Les restes rn des divisions euclidiennes de l'entier A par les un ne sont pas tous distincts.

Posté par
carpediemre : écriture en base 10 07-10-23 à 17:59

ha tiens c'est ma proposition dans un des liens donnés par lake

Posté par
robby3re : écriture en base 10 07-10-23 à 18:16

Pour répondre aux questions concernant l'origine de l'exercice, c'est un énoncé d'une fiche d'exercices intitulé "Arithmétique, congruences, Z/nZ"  dans le cadre d'une preparation à l'agreg interne.
Je n'ai pas fait de maths depuis trop longtemps et c'est pour cela que j'ai mis niveau math sup dans le référencement.

Il n 'y a pas de questions avant et il n'y a rien d'autres dans l'énoncé.
J'imagine qu'on peut imaginer un "Montrer que" avant le "...Tout entier".


Mon idée avec ce que j'avais fait était d'exhiber effectivement ce multiple mais j'ignorai comment...

Je vais regarder le lien des topic mentionnés et je reviens vers vous.

Merci de vos réponses.

Posté par
lakere : écriture en base 10 07-10-23 à 20:39

Bonsoir Sylvieg,

Citation :
Il y a un manière de la démontrer, mais sans exhiber.

J'entends bien mais "exhiber" a tout de même un caractère (définitif)  de preuve qui me plaît bien

Posté par
robby3re : écriture en base 10 07-10-23 à 21:35

Je reprends en essayant d'appliquer ce que j'ai compris des posts mentionnés plus haut.

Soit A un nombre entier premier avec 10.
Un multiple de A se note A x k.
Il faut montrer que A x k pour un certain k s'écrit sous la forme \frac{10^{n+1}-1}{9} ou autrement dit que 9\times (A \times k) = 10^{n+1}-1.

Pour cela, il est donc nécessaire de trouver n de sorte que 10^{n+1}-1
soit multiple de A.
Pour cela, je considère la décomposition en produits de facteurs premiers de A sous la forme :
A=p_1^{\alpha_1}....p_r^{\alpha_r} avec les p_i\in\mathbb{P}-\{2;5\}
car A doit être premier avec 10 (et 10 = 2 x 5).

Il est donc nécessaire que n soit congru à 1 modulo chacun des p_i^{\alpha_i}.
Pour cela, on peut prendre
n=\prod_{i=1}^{i=r}{\Phi(p_i^{\alpha_i}}) où \Phi est l'indicatrice d'Euler comptant le nombre d'éléments inversible dans Z/pZ.


Je sens qu'il y a des trucs encore obscurs pour moi là-dedans, pourriez-vous m'aiguiller et m'aider à comprendre cela s'il vous plait ?

J'ai du mal à traduire dans le cas général (dans mon cas) l'histoire de ppcm évoqué par GBZM ou Jandri par exemple dans les posts précédents.

Posté par
robby3re : écriture en base 10 11-10-23 à 16:03

Pour ceux que ça intéresse, la correction prend n=\phi(9A) de sorte qu'avec Euler on a 10^{\phi(9A)}\equiv 1[9A] c'est à dire 9A divise 10^n-1 c'est à dire A divise \frac{10^n-1}{9}


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