Niveau Maths sup

égalité de module

Posté par
Lipoupou 28-06-08 à 16:00

Salut à tous, je ne sais pas comment montrer que |z|+|w|=|z+w| équivaut à z et w sont les affixes de deux points situées sur une même demi droite passant par l'origine.

Pouvez vous m'éclairez, merci d'avance.

Posté par re : égalité de module 28-06-08 à 16:02

Salut

En passant au carré, peut-être ?

Posté par re : égalité de module 28-06-08 à 16:11

Mmm en fait non.

Divise l'égalité par |z| (on suppose z non nul).

1+|x| = |1+x| où $4$x=\fr{w}{z}\in{\bb C$

on écrit x=a+ib où a et b sont des réels

alors (1+|x|)² = |1+x|²

or $3$(1+|x|)^2=1+a^2+b^2+2\sqrt{a^2+b^2}$

$3$|1+x|^2=(a+1)^2+b^2=a^2+b^1+2a+1$

d'où $3$1+|x| = |1+x|\,\Leftright\,a=\sqrt{a^2+b^2$ d'où $3$a\ge0$ et $3$b=0$

donc x=a et $3$\|z=aw\\a\ge0$

Posté par re : égalité de module 28-06-08 à 16:50

k, merci.

Posté par re : égalité de module 28-06-08 à 17:48

Bonjour,

Autre méthode...

Si l'un des deux complexes est nul, alors la conclusion est évidente.
Supposons maintenant que les deux complexes sont non nuls.

On pose $3$z=|z|e^{i\theta}$ et $3$w=|w|e^{i\varphi}$

$3$|z|+|w|=|z+w|$
$3$\Longleftrightarrow \left(|z|+|w|\right)^2 = |z+w|^2$
$3$\Longleftrightarrow |z|^2+|w|^2+2|z||w| = \left|\left(|z|\cos\theta+|w|\cos\varphi\right) + i\left(|z|\sin\theta+|w|\sin\varphi\right)\right|^2$
$3$\Longleftrightarrow |z|^2+|w|^2+2|z||w| = \left(|z|\cos\theta+|w|\cos\varphi\right)^2 + \left(|z|\sin\theta+|w|\sin\varphi\right)^2$
$3$\Longleftrightarrow |z|^2+|w|^2+2|z||w| = |z|^2+|w|^2+2|z||w|\left(\cos\theta\cos\varphi+\sin\theta\sin\varphi\right)$
$3$\Longleftrightarrow 1=\cos\theta\cos\varphi+\sin\theta\sin\varphi$
$3$\Longleftrightarrow 1=\cos\left(\theta-\varphi\right)$
$3$\Longleftrightarrow \theta-\varphi=0+2k\pi$
$3$\Longleftrightarrow \theta=\varphi+2k\pi$
CQFD

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par re : égalité de module 28-06-08 à 18:02

Bonjour,

Ou bien, avec $M(z)$ et $M'(w)$ :

$|z|+|w|=|z+w|$

$(|z|+|w|)^2=|z+w|^2$

$|z|^2+2|z||w|+|w|^2=(z+w)(\bar{z}+\bar{w})$

$z\bar{z}+w\bar{w}+2|z||w|=z\bar{z}+z\bar{w}+w\bar{z}+w\bar{w}$

$|z||w|=Re(z\bar{w})$

$OM.OM'=\vec{OM}.\vec{OM'}$

et la conclusion.

Posté par re : égalité de module 28-06-08 à 19:41

daccord merci à tous.

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