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egalité des distances
Bonjour, je bloque sur la démonstration de l'égalité suivante :
Soient A,B deux parties non vides d'un espace normé E, on pose d(A,B) = inf{||a-b||,a
A,bB}. Montrer que d(A,B)=d(adh(A),adh(B))
Pour ce faire, j'ai remarquer que si A et B sont fermés le résultat est immédiat. Puis j'ai considérer a et b deux éléments de adh(A) et resp adh(B). Alors ces éléments sont chacun limite d'une suite d'élément de A et d'une suite d'élément de B que je note an resp bn alors :
||a-b||=lim||an-bn|| en l'infini et donc d(adh(A),adh(B))=inf(lim||an-bn||)...
je ne vois pas comment continuer le raisonnement est-il le bon ? Merci d'avance
Bonjour.
, idem pour B.
Il est donc clair que .
L'idée de la caractérisation séquentielle n'est pas mauvaise.
Soient a,b respectivement dans et
, alors il existe deux suites
,
respectivement de A et B qui convergent respectivement vers a et b.
Par définition de d(A,B), alors :
.
En particulier en passant cette inégalité à la limite :
Puis en passant cette inégalité à la borne inf à droite sur les ensemble et
, on obtient :
D'où la double inégalité, d'où l'égalité.
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