Bonsoir, je débute en topologie et je dois prouver en ne connaissant que les définitions basiques de la topologie (ouvert, fermé, adhérence, bord, etc). Voici ma proposition qui me semble longue mais du moins solide (ou peut-être pas) :
2 lemmes que j'ai jugé utile de montrer :
Soit alors
Soit , .
Soit , .
Donc et .
:
Soit .
Supposons par l'absurde que appartienne à alors vu le choix de , on aurait que ou , contradiction. Donc
Montrons à présent que
car .
On en déduit que
Qu'en pensez-vous ? Le très peu de preuves concernant ce type d'égalité en topologie contenaient au maximum 3 lignes, ici j'ai essayé de tout prouver sinon on allait m'embeter mais je trouve que j'ai du me compliquer la vie quelque part (malgré le fait que je pense avoir fait le plus court possible en étant rigoureux).
Bonjour,
Je n'ai pas vraiment compris la partie
Nous n'avons pas encore été habitué à travailler avec ces notions de plus petit fermé etc, mais c'est extrêmement efficace.
En effet, cette partie était frauduleuse je ne savais pas trop comment m'exprimer la-dessus, je suis convaincu du résultat et tout est bien dans ma tête mais je ne sais pas comment le formuler rigoureusement.
J'aurais aussi du mal à le formuler rigoureusement, donc je propose une autre démonstration :
On veut montrer
On a
Donc il suffit de montrer
Donc il suffit de montrer
Du coup c'est bon
Sans parler de plus petit fermé, tu peux te servir des deux caractérisations
1) un point est adhérent à E si et seulement si tout ouvert le contenant intesecte E
2) un point est intérieur à E si et seulement s'il existe un ouvert le contenant qui est entièrement inclus dans E
Ce faisant si x est dans le complémentaire de Adh(E), il ne peut être dans E (parce que E est inclus dans son adhérence), et il existe un ouvert le contenant qui n'intersecte pas E (c'est-à-dire, qui est entièrement inclus dans le complémentaire de E). Autrement dit, x est dans l'intérieur du complémentaire de E, et on a montré le sens .
Réciproquement, si x est dans l'intérieur du complémentaire de E, il y a un ouvert qui le contient et qui est inclus dans , donc dans , et donc ne rencontre pas E. Donc x n'est pas dans l'adhérence de E, et on a montré .
Sous forme d'équivalence, soit un point de notre espace topologique
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