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Niveau Maths sup
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Encadrement de sommes

Posté par
mathematico
02-05-08 à 10:20

Bonjour,

SVP, éclairez-moi sur ce problème!

Etablir pour tout x réel et n naturel, |J(x) - R_{n}(x)| \le |u_{n+1}(x)|

avec R_{n}(x) = \Bigsum_{k=0}^n u_{k}(x) et u_{n}(x) = \frac{(-1)^n}{(n!)^2}\frac{x^{2n}}{2^{2n}}

On sait de plus que pour x appartenant à [0,Pi], R_{2p+1}(x) \le J(x) \le R_{2p}(x)
et pour tout x réel, J(x) = \frac{2}{\pi}\Bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos(xsin(t))dt

Alors, j'ai essayé une récurrence mais l'hérédité ça bloque!!

Merci!

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Encadrement de sommes 02-05-08 à 11:51

Bonjour,

c'est vrai pour toute série alternée convergente, il suffit de distinguer les cas n pair et n impair sans revenir aux formules, en observant que pour tout n, u(2n)-u(2n+1) > 0 (à x fixé) ce qui implique que le reste S(2n) d'ordre 2n est toujours positif, et de même que le reste d'ordre 2n+1 est toujours négatif.

Donc |S(2n)| = S(2n) = J-R(2n-1) u(2n) (sinon on aurait J > R(2n) ce qui est faux du fait que J=R(2n)+S(2n+1) avec S(2n+1) < 0)

Symétriquement, on obtient R(2n)-J u(2n+1), CQFD.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Encadrement de sommes 02-05-08 à 11:56

Pardon, il manque un signe - devant u(2n+1), puisque u(2n+1) est négatif.

Posté par
mathematico
re : Encadrement de sommes 02-05-08 à 12:05

donc je ne fais pas de récurrence?

et est-ce que vous pourrez eclaircir votre reponse (on n'a pas vu les series alternees...)

merci!

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Encadrement de sommes 02-05-08 à 12:12

La récurrence ne me paraît pas utile en effet.

Que ne comprends-tu pas dans ma réponse?

Je ne me suis pas servi de résultats sur les séries alternées, au contraire je t'ai prouvé un résultat les concernant, mais tout ce dont je me sers, c'est de la majoration que tu donnes dans ton énoncé.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Encadrement de sommes 02-05-08 à 12:13

Enfin de l'encadrement plutôt.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Encadrement de sommes 02-05-08 à 12:16

Aïe, j'ai détecté une autre erreur de notation dans ce que j'avais écrit, désolé!

En fait c'est u(2n)+u(2n+1) > 0 et u(2n+1) + u(2n+2) < 0, en fait j'avais considéré la valeur absolue des u(n) à la place des u(n).

Là ça devrait aller!

Posté par
mathematico
re : Encadrement de sommes 02-05-08 à 12:32

oui mais c'est quoi le rest S(2n)? je ne vois pas les etapes logiques dans votre reponse... vous pourrez la récapituler svp? merci bcp!

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Encadrement de sommes 02-05-08 à 12:57

Le reste d'ordre 2n, c'est la somme des termes en commençant par celui d'indice 2n.

Comme pour tout n, u(2n)-u(2n+1) > 0, le reste S(2n) d'ordre 2n est toujours positif, de même le reste d'ordre 2n+1 est toujours négatif.

Comme par définition du reste, on a pour tout n: S(n)=J-R(n-1) (si je commence à l'indice n, c'est comme si je prenais tous les termes et que je soustrayais les n-1 premiers), on a bien ce que j'avais écrit ensuite.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Encadrement de sommes 02-05-08 à 15:28

Bonjour,

Il n'y a pas de question avant "Etablir pour tout x..." ? Merci de donner l'énoncé complet.

Nicolas

Posté par
mathematico
re : Encadrement de sommes 02-05-08 à 19:48

si c'est établir pour tout x de R cette  propriete... c'est pour cela je crois qu'on ne peut pas utiliser l'encadrement proposé... merci pour toute aide!

Posté par
mathematico
re : Encadrement de sommes 02-05-08 à 21:16

l'encadrement est en effet pour x appartenant a [0,Pi], alors qu'il faut prouver la propriete pour tout x réel.

aidez-moi svp, je n'ai tjrs pas réussi!

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Encadrement de sommes 02-05-08 à 21:18

Tu confirmes qu'il n'y a aucune question ou partie avant ?

Posté par
mathematico
re : Encadrement de sommes 02-05-08 à 21:31

non, les infos que j'ai donné dans mon premier post sont les résultats des questions précédentes... et je ne sais pas ici si l'encadrement a un interet ou pas... merci!

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Encadrement de sommes 02-05-08 à 21:39

On peut peut-être faire des double-IPP successives pour faire apparaître les ui les uns après les autres. J'ai commencé les calculs, puis ai dû passer à autre chose.

Posté par
mathematico
re : Encadrement de sommes 02-05-08 à 21:41

ok, mais est-ce que vous comprenez ce qu'a proposé Tigweg? pourriez-vous m'éclairer? svp

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Encadrement de sommes 02-05-08 à 22:38

Bonsoir (salut Nicolas!),

en effet je n'avais pas vu cette différence entre les intervalles...

Cela dit, mathematico, peut-être serait-il bon que tu m'expliques exactement ce que tu n'as pas compris dans ma réponse, je ne vais pas non plus tout réexpliquer à chaque message!

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Encadrement de sommes 03-05-08 à 20:08

Salut Tigweg !

Posté par
mathematico
re : Encadrement de sommes 04-05-08 à 13:37

la difference des intervalles fait que votre methode ne marche pas puisque vous utilisez l'encadrement, non (il faut etablir le resultat pour tout x)?
et je ne comprends tjrs pas ce qu'est S(n)... et vous avez plusieurs reponses: laquelle dois-je lire (elles se contredisent au niveau de u(2n) - u(2n+1)...)
merci de ta patience Tigweg!

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Encadrement de sommes 05-05-08 à 00:01

Bon traitons pour l'instant le cas où x est compris entre 0 et \pi.

Mes réponses ne se contredisent pas, j'ai simplement corrigé deux erreurs de notation que j'avais faites...

Comme je te l'ai déjà expliqué, je pose S_n(x)=\Bigsum_{k=n}^{+\infty}u_k(x).


A x fixé, la suite |u_n(x)| est décroissante à partir d'un certain rang.

Donc pour tout entier k assez grand, u_{2k}(x)+u_{2k+1}(x)>0.

On somme ces inégalités de k=n jusqu'à l'infini, et on obtient S_{2n}(x)>0 pour n assez grand.


Alors |S_{2n}(x)| = S_{2n}(x) = \Bigsum_{k=2n}^{+\infty}u_k(x)=\Bigsum_{k=0}^{+\infty}u_k(x)-\Bigsum_{k=0}^{2n-1}u_k(x)= J(x)-R_{2n-1}(x)



avec J(x)-R_{2n-1}(x) \le u_{2n}(x) puisque R_{2n-1}(x)+ u_{2n}(x)=R_{2n}(x) et que J(x)\le R_{2n}(x)




Conclusion: |S_{2n}(x)|\le u_{2n}(x)=|u_{2n}(x)| ce qui s'écrit aussi


|J(x)%20-%20R_{2n-1}(x)|%20\le%20|u_{2n}(x)|.




De façon analogue, on établit: |J(x)%20-%20R_{2n}(x)|%20\le%20|u_{2n+1}(x)|.


Seulement ces encadrements ne valent que pour n assez grand et x compris entre 0 et \pi.

Je suis surpris que l'énoncé demande de le prouver pour tout n...

Es-tu sûr qu'il n'y a pas d'erreur d'énoncé?Le fait de pouvoir généraliser à tout x réel est également surprenant.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Encadrement de sommes 06-05-08 à 10:52

Bonjour ;

Une idée :

Pour établir l'égalité 5$\blue\fbox{\forall x\in\mathbb{R}\;,\;\underb{\fbox{\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos(xsint)dt}}_{J(x)}=\underb{\fbox{\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{2^{2n}(n!)^2}}}_{R(x)}} ,

on pourra vérifier que J et R sont solutions sur \mathbb{R} de l'équation différentielle 5$\red\fbox{xy''+y'+xy=0\\\;\;\;\;y(0)=1}(sauf erreur bien entendu)

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Encadrement de sommes 06-05-08 à 11:18

Salut elhor,


en effet, je n'avais pas pensé à cela!

Cependant, notre ami ne semble pas avoir vu les séries, mais il nous le dira lui-même!

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Encadrement de sommes 06-05-08 à 11:40

Salut Tigweg ;

ça m'étonnerait s'il est en sup_{spe} comme son profil laisse comprendre !!

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Encadrement de sommes 06-05-08 à 11:43

Eh bien on ne les voit qu'en Spé, justement.

Or, ne connaissant pas les séries alternées, je doute qu'il y soit!(Les cours sont déjà terminés en Spé!)

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Encadrement de sommes 06-05-08 à 11:53

Donc , sauf erreur , il y'a des questions non postées dans son exercice

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Encadrement de sommes 06-05-08 à 11:55

Oui, d'ailleurs mathematico l'a confirmé :


Citation :
re : Encadrement de sommes
profil de Nicolas_75posté par : correcteur Nicolas_75 (Correcteur)
Tu confirmes qu'il n'y a aucune question ou partie avant ?
#msg1847115 posté le 02/05/2008 à 21:31
re : Encadrement de sommes
profil de mathematicoposté par : mathematico
non, les infos que j'ai donné dans mon premier post sont les résultats des questions précédentes...



Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Encadrement de sommes 06-05-08 à 12:00

C'est une manie presque générale chez les taupins , ils ne postent que les questions sur lesquelles ils butent

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Encadrement de sommes 06-05-08 à 12:02

Oui, et pas que chez les taupins, en fait!!

C'est aussi vrai avant...et après!



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