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Endomorphisme.

Posté par
bradley32 18-03-15 à 14:45

Bonjour à tous,

J'ai besoin d'aide pour résoudre le problème suivant :

Soit E un \mathbb{R}  -espace vectoriel de dimension finie dont on note + l'addition et soit J \in \mathrm{End} (E) tel que J^2 =-Id_E.

1) Montrer que J est un isomorphisme et n est un entier pair n=2m.
2) Soit e un élément non nul de E. Montrer que e et Je sont linéairement indépendants.
3) Montrer qu'il existe une base de E de la forme (e_1,Je_1,.....,e_m,Je_m) et donner l'expression de J dans cette base.
4) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres d'un tel endomorphisme J.
5) Mettre sur le groupe (E,+) une structure de \mathbb{C}-espace vectoriel de dimension m.

J'ai réussi à faire : 1). En effet, pour montrer que J est un isomorphisme, il suffit de montrer qu'il est injective puisque E est de dimension finie.
Soient x , y \in E tel que : J(x) = J(y), cela implique que : J(J(x)) = J(J(y)), c'est à dire : -x = - y , c'est à dire : x = y.
Par ailleurs, puisque : J^2 = - \mathrm{id}, alors : \det ( J^2 ) = \det ( - \mathrm{id} ), c'est à dire : ( \det (J) )^2 = (-1)^{ \mathrm{dim} (E) } = (-1)^{n}, donc : n = 2m avec, m le rang de J.
Pourriez vous me dire comment on fait pour 2) ?
Soient : a , b \in \mathbb{R} tels que : a e + bJe = 0, cela implique que : J(ae+bJe) = aJe - be = 0, voilà, c'est à partir de là que je bloque. Pouvez vous m'aider svp ?

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
luzakre : Endomorphisme. 18-03-15 à 14:59

Bonjour !
Avec tes relations (je suppose que e=Id_E) tu fais disparaître J en faisant a(ae+bJ)-b(AJ-be) d'où une impossibilité si ab\neq0.

Pour 3. tu fais une récurrence en montrant que e_1,Je_1,\dots,e_p,Je_p est libre en commençant avec e_1 vecteur non nul arbitraire.

Posté par
veledare : Endomorphisme. 18-03-15 à 15:17

bonjour,
tu as
ae+bJ(e)=0 (1)
aJ(e)-be=0 (2)

tu en déduis a²J(e)+b²J(e)=0 soit (a²+b²)J(e)=0
e est non nul par hypothèse ,J est un isomorphisme donc J(e)0 =>a²+b²=0 avec a et b réels=>...

Posté par
etniopalre : Endomorphisme. 18-03-15 à 15:26

Pour la 2 il s'agit de montrer que si x E\{0] alors {x , J(x)} est libre .

Or si s et t sont des réels tels que s.x + t.J(x) = 0 alors s.J(x) - t.x = 0 donc (s² + t²).x = 0
......

Posté par
carpediemre : Endomorphisme. 18-03-15 à 16:19




....

Posté par
bradley32re : Endomorphisme. 18-03-15 à 17:01

Oui, ce problème est issu d'un autre forum d'un autre intervenant qui  porte comme pseudo : @Clara69, et comme j'ai pas de compte sur ce forum, j'ai eu l'idée de venir le poster moi même ici, pour avoir des réponses, et pourvoir le résoudre moi même.
Toutes mes excuses.
Cordialement.

Posté par
carpediemre : Endomorphisme. 18-03-15 à 17:16

il n'y a pas de mal ....

Posté par
bradley32re : Endomorphisme. 18-03-15 à 17:22

Donc, pour la question : 2) \ \ \ , ( a^2 + b^2 ) J(e) = a^2 J(e) + b^2 J(e) = a^2 J(e) - abe + abe + b^2 J(e) = a ( a J(e) - be ) + b ( ae + bJ(e) ) = a \times 0 + b \times 0 = 0
Par conséquent : a^2 + b^2 = 0, puisque, J(e) \neq 0, et donc : a = b = 0, non ?
Pour la question 3) :
On ne peut pas appliquer une récurrence, car il s'agit d'une base fini, et non dénombrable, non ?
Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
carpediemre : Endomorphisme. 18-03-15 à 18:11

pour la 3) ::

puisque E est de dimension finie et que F1 = (e1, je1) est stable

tu considères un supplémentaires de F et tu choisis à nouveau un vecteur e2 et l'espace F2 = (e2,je2)

... et ainsi de suite ....

Posté par
carpediemre : Endomorphisme. 18-03-15 à 18:11

un ensemble fini est évidemment dénombrable ....

Posté par
bradley32re : Endomorphisme. 18-03-15 à 18:59

Merci, il faut donc supposer que si : \forall k < 2 m , et pour tout E_k sous espace vectoriel réel de dimension paire k, et  pour tout J_k \in \mathrm{End} ( E_k ) qui vérifie : J_{k}^2 = - \mathrm{id} tel que : E_k admet une base : ( e_1 , J_k e_1 , e_2 , J_k e_2 , \dots , e_k , J_k e_k ), on a alors forcément, E admet une base : ( e_1 , J e_1 , \dots , e_m , J e_{m} ) tel que : J_k = J_{|E_{k}} , non ? C'est un peu étrange pour moi ça, car je n'ai jamais vu une récurrence fini, mais toujours infini dénombrable.
Merci d'avance pour votre éclairage.

Posté par
carpediemre : Endomorphisme. 18-03-15 à 19:04

c'est le même principe de descente "infinie" quand tu recherches le pgcd de deux entiers a et b ...

descente infinie ... qui est finie ...

Posté par
bradley32re : Endomorphisme. 18-03-15 à 19:09

Peux tu m'indiquer stp, un exemple de théorème d'un cours sur le net, établi  ,en utilisant le même principe de récurrence "finie" que tu indiques là ?
Merci d'avance.

Posté par
carpediemre : Endomorphisme. 18-03-15 à 19:50

toutes les constructions et existences de bases en dimension finie utilise ce principe ....

Posté par
bradley32re : Endomorphisme. 18-03-15 à 20:05

A titre d'exemple, le lien suivant : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_base_incompl%C3%A8te fournit un esquisse sur la manière de démontrer le théorème de la base incomplète auquel tu fais allusion. Cette démonstration repose sur un algorithme ( Une boucle en langage informatique ), et non sur une récurrence. Ou bien, dans un autre contexte, on utilise le lemme de Zorn qui n'a rien à avoir avec une récurrence.  

Posté par
carpediemre : Endomorphisme. 18-03-15 à 20:12

ha ... ouais ok ... tu joues sur les mots ....

la boucle c'est : tant que je n'ai pas finie je recommence ...

Posté par
bradley32re : Endomorphisme. 18-03-15 à 21:30

Merci beaucoup.
Pour la suite de cette question, on procède comme suit :
Dans la base : (e_1 , e_2 , \dots , e_m , J e_1 , J e_2 , \dots , J e_m ), J s'écrit : J = \begin{pmatrix} 0 & - I_m \\ I_m & 0 \end{pmatrix}, non ? Il suffit de calculer : J (e_k ) et J(Je_k) pour k = 1 , \dots , m, et voir ce que ça donne, ensuite placer le résultat dans la matrice associée à J, non ?
Merci d'avance.  

Posté par
bradley32re : Endomorphisme. 18-03-15 à 22:36

Comment faire pour la question : 4).
Le polynôme caractéristique, on trouve qu'il est égal à : P( \lambda ) = \det ( J - \lambda I_{2m} ) = (\det ( - \lambda I_m ))^2 - \det (I_m) \det ( - I_m ) = (- \lambda )^{2m} - (-1)^m = \lambda^{2m} - (-1)^{m}
Est ce que c'est correct ? Quelles sont les valeurs propres ?

Posté par
carpediemre : Endomorphisme. 19-03-15 à 01:24

dans R et m est pair alors -1 et 1 sont valeurs propres .....

mais bon pas sur ....


par contre pour tout sous-espace stable (u, Ju) alors tu effectue "une rotation de pi/2"

ju = ju et j(ju) = -u

la matrice de J restreinte à V = (u, ju) est

cos pi/2 -sin pi/2
sin pi/2  cos pi/2


ce qui te donne les valeurs propres dans C : i et -i

....


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