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Endomorphisme qui comutent avec la dérivation

Posté par
NoPseudoDispo
06-09-21 à 19:56

Bonjour,

Je cherche à montrer que les seuls endomorphismes f de R2[X] qui commutent avec la dérivation D (qui a un polynôme de R2[X] associe son polynôme dérivé) sont sous la forme :

f = a*Id + b*D + c*D^2, a,b,c étant des réels.

Un sens étant évident, l'autre je ne sais pas.

Posté par
boninmi
re : Endomorphisme qui comutent avec la dérivation 06-09-21 à 20:41

Bonsoir,

Peut-être produire un contre exemple.
End(R2[X]) est de dimension 9.
{Id, D, D2} un système libre (sauf erreur).
Produire un endomorphisme dans une base complétée qui ne soit pas c.l. de ces trois vecteurs et ne commute pas.

Posté par
NoPseudoDispo
re : Endomorphisme qui comutent avec la dérivation 06-09-21 à 21:09

Admettons que j'en trouve 1, je ne trouve pas comment cela impliquerait que tout ceux qui ne sont pas c.l. Ne peuvent commuter.

Posté par
lafol Moderateur
re : Endomorphisme qui comutent avec la dérivation 06-09-21 à 23:32

Bonjour
ça se fait très bien en écrivant les matrices dans la base (1, X, X²)

Posté par
NoPseudoDispo
re : Endomorphisme qui comutent avec la dérivation 07-09-21 à 00:46

Effectivement je n'y avais pas pensé. J'aurais dû pourtant.

En notant M la matrice de D dans la base canonique, et H la matrice de h dans la même base, aux coefficients recherchés (a,b,c…i)

si H*M=M*H, alors on a plusieurs relations entre les coefficients et H s'écrit a*I3+b*M+1/2c*M^2

Donc on a bien si h commute avec D alors il existe un polynôme P dans R2[X] tel que h=P(D)

Merci

Posté par
boninmi
re : Endomorphisme qui comutent avec la dérivation 07-09-21 à 11:47

Oups ... j'ai répondu trop vite
C'était plus simple.

Posté par
GBZM
re : Endomorphisme qui comutent avec la dérivation 07-09-21 à 14:19

Bonjour,

On peut éviter les matrices en remarquant que (X^2,D(X^2), D^2(X^2)) est une base de \R_2[X]. Un endomorphisme u qui commute avec D est donc entièrement déterminé par u(X^2), et il existe bien des réels a,b,c tels que u(X^2) = a(X^2) + bD(X^2) +c D^2(X^2).



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