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Niveau quatrième
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énoncé ?

Posté par Chris91 (invité) 24-12-04 à 12:07

Bonjour,
a) Déduire la valeur de la somme:
1/2+1/6+1/12+1/20+1/30 donc on met au meme dénominateur ce qui donne 5/6
mais pour le
b)Calculer la somme
1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+...+1/999000
je ne comprends pas l'énoncé et surtout les (...)
           merci d'avance
              Chris

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : énoncé ? 24-12-04 à 13:20

Considérons la suite de terme général = 1/(n(n+1))

On voit qu'avec:
n = 1 -> le terme = 1/2
n = 2 -> le terme = 1/6
n = 3 -> le terme = 1/12
...
n = 999 -> le terme = 1/999000

Donc 1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+...+1/999000 est égal à  \bigsum_{n=1}^{999}\ \frac{1}{n(n+1)}
----
faisons la somme de 2 termes consécutifs:

somme des 2 termes pour n = k et n = k+1
-> Somme2 = 1/(k(k+1)) + 1/((k+1)(k+2)) = (2k+2)/(k(k+1)(k+2)) = 2(k+1)/(k(k+1)(k+2)) = 2/(k(k+2))

Ajoutons encore le terme qui suit (soit le terme 1/((k+2)(k+3))
-> Somme3 = 1/(k(k+1)) + 1/((k+1)(k+2)) + 1/((k+3)(k+3)) = remise au même dénominateur et simplification ...
-> Somme3 = 1/(k(k+1)) + 1/((k+1)(k+2)) + 1/((k+3)(k+3)) = 3/(k(k+3))

Et ainsi de suite, si on ajoute 999 termes, on trouve:
S(999) = 999/(k.(k+999))

Le premier terme est pour k = 1 ->
S(999) = 999/(1.(1+999))
S(999) = 999/1000

On a donc:
1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+...+1/999000 = 999/1000
-----
Sauf distraction.  

Posté par Chris91 (invité)re : énoncé ? 24-12-04 à 14:11

JP je te remercie pour ton aide mais je n'ai pas encore appris ce sigle en 4 ieme et je ne comprends pas .
                           Merci
                           Chris

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : énoncé ? 25-12-04 à 11:20

Considérons les valeurs que prend 1/(n(n+1)) lorsque n vaut successivement 1 puis 2 puis 3 ...

Pour n = 1, on a:  1/(n(n+1)) = 1/2
Pour n = 2, on a:  1/(n(n+1)) = 1/6
Pour n = 3, on a:  1/(n(n+1)) = 1/12
...

On voit que 1/(n(n+1)) prend alors successivement les valeurs de chaque terme de la somme à calculer.

Si on fait la somme des 2 premiers termes (donc pour n = 1 et n = 2):
(1/2) + (1/6) = 2/3

Si on fait la somme des 3 premiers termes (donc pour n = 1 et n = 2 et n = 3) :
(1/2) + (1/6) + (1/12) = 3/4

Si on fait la somme des 4 premiers termes (donc pour n = 1 et n = 2 et n = 3 et n = 4) :
(1/2) + (1/6) + (1/12) + (1/20) = 4/5

On voit donc que la somme de n termes donne un résultat = n/(n+1)
Avec n = 4, on a n+1 = 5 et le résutat de la somme de 4 termes est bien de n/(n+1) = 4/5
-----
On demande de calculer la somme:

1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+...+1/999000

Chaque terme de la somme est de la forme 1/(n.(n+1))
depuis n = 1 (on a alors le terme 1/(n.(n+1)) = 1/(1X(1+1)) = 1/2)
jusque n = 999 (on a alors le terme 1/(n.(n+1)) = 1/(999X(999+1)) = 1/999000)

Le résultat de 1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+...+1/999000 est donc n/(n+1) mais avec n = 999, soit 999/(999+1) = 999/1000
-----
Je ne sais pas si tu as déjà appris ce qu'il faut pour comprendre la méthode que j'ai utilisée.






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