Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Ens. des suites cvgtes non ouvert dans l'ens. des suites bornées
Bonjour, je fais une erreur de raisonnement mais je n'arrive pas à la détecter. Pouvez-vous me guider ?
Voilà l'ex: Soit E l'espace vectoriel des suites réelles bornées, muni de la norme infinie. Soit A l'ensemble des suites convergeant vers 0.
La question est A est-il ouvert ou fermé dans E ? Je sais que A est un fermé de E et qu'il n'est pas ouvert dans E. Mais sur le document joint je montre que A est ouvert dans E. Pour cela j'ai pris un 
>0 arbitraire et j'arrive à la conclusion qu'à partir d'un certain rang N, , ce qui signifie que v converge vers 0.
Y a-t-il une erreur par rapport au choix de qui n'est pas choisi au hasard à un moment de la preuve ?
((Je vois bien que A ne peut pas être ouvert car toute boule ouverte centrée en une suite convergeant vers 0 contient une suite constante à partir d'un certains rang (par exemple dont chaque terme vaut 1/4 du rayon) qui ne converge pas vers 0.))
Bonjour,
Tes inégalités sont correctes, mais c'est la conclusion qui ne suit pas.
Ce que tu obtiens est .
Mais lorsque tu changes , tu changes aussi la boule, donc l'ensemble des
auxquels le raisonnement s'applique. En effet, si on veut garder un même
fixé, alors, dès que
, il vient
.
Pour montrer que , il faudrait fixer
et pouvoir écrire à la fin
.
Donc, pour ajuster ton raisonnement, il faut séparer le qui sert à définir la boule de la variable utilisée dans la convergence de
.
Par exemple : Fixons et
, puis soit
arbitraire. Comme
, ...
Erreur mineure : tu parles de boule fermée en utilisant des inégalités strictes.
Bonjour
Bonjour
Erreur assez fréquente.
On prend juste pour éviter d'écrire
tout le temps.
Ça commence bien.
Quand tu dis tu dis
Quand tu choisis v dans , tu dis
.
mais cet N dépend du choix de M.
Et tu as donné toi-même le contrexemple qui prouve que ce n'est pas ouvert.
Merci beaucoup pour vos réponses.
(pardon j'ai écris boule fermée en pensant ouverte ...
Je sais que la conclusion est fausse mais je ne voyais pas où.)
Ok, c'est un problème d'ordre en fait: si j'avais d'abord choisi une suite v puis ensuite montré que cette suite converge, j'aurais trouvé ((une suite convergeant vers 0 dans toute boule ouverte centrée en un élt de A)) mais ici le problème est que v est fonction de .
Si j'ai tout compris j'ai commis la même erreur que la suivante :
f affine .
Annuler
connectez vous
topologie en post-bac