hihi bah en fait c'est la variable du chemin f soit z dans [0;1] j'ai utilisé (1-z) pour dire d'avoir f(0)= (x,sin(1/x))
a part ca t'es ok pour dire que le seul chemin possible continue dans A qui part de (x,sin(1/x)) suit la courbe?

Je crois que oui, mais ça serait plus clair avec un dessin !
Dis ta possibilité de me faire un tracé de courbe chez toi ??

Ou sinon que dois-je tracer pour mieux comprendre encore ?

quand je parle de la courbe c'est celle de la fonction x-> sin(1/x)

non je peux pas désolé la courbe ressemble à un sin mais plus t proche de 0 plus les périodes sont courtes

Ok tanpis, je trace la courbe chez moi et ensuite ?

Voila ce que ça donne

si tu trace la courbe tu comprendra facilement je vais aller dormir mais si je peux te donner un conseil pour la connexité par arc c'est celui ci:

connexe par arc ca veut dire que peu importe les 2 points que tu prends dans ton ensemble tu peux tracer un chemin continu qui va de l'un à l'autre.

Ici notre ensemble c'est le graphe A et {0,+infini}x[0;1],

quand tu te place sur un point (x,y) de A la seule facon de bouger continûment dans A c'est de suivre le graphe à partir de ce point.

la courbe que tu as tracé c'est A

J'ai très bien compris ton message de 01:33
Mais pourquoi ça mène à une contradiction dans ce qui a était dit précédemment ?

bah si tu as un chemin continu qui part d'un point (x; sin(1/x)) dans A t obligé de suivre la courbe.
Puisqu'on veut relier ce point à (0;1) on se déplace vers la gauche jusqu'en x=0  de telle sorte que
en x =0 on se retrouve en sin(1/x) qui vaut 1 ce qui est absolument absurde car qd x tend vers 0 1/x diverge et donc sin n'a pas de limite.

Si tu veux savoir exactement ce que c'est le chemin c'est la fonction f de tout à l'heure avec mes z

ceci est faux parcequ'on a tenté d'avancer continuement c'est a dire de parcourir la courbe vers la gauche avec un stylo sans retirer le stylo

Ahhhhhh!!
C'est bon je vois!

Merci bcp

héhé maintenant tu peux voir un peu l'idée de la preuve rédiger ca proprement c'est un bon exercice même aprés avoir compris c'est pas trés évident. je te souhaite bonne nuit a plus

Bonne nuit à toi aussi!
En encore merci
Je vais tenté de rédiger ça proprement et comme tu dis c'est pas gagné !