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Ensemble ouvert
Bonjour a tous,j'aimerais savoir si Q est un ensemble ouvert? A priori il me semble que oui car si je prend un rationnel,r, en utilisant la définition,il y aura toujours un 
>0 tq : D(r,) soit inclus dans Q.Si je prend =2r est-ce correct?
Bonjour,
Premièrement, quand on parle d'ouvert, il faut préciser "dans quoi" : ici, je suppose que tu veux savoir si Q est ouvert dans R.
>0 tq : D(r,
) soit inclus dans Q" alt="il y aura toujours un >0 tq : D(r,) soit inclus dans Q" class="tex" />
Ah bon ??
"Inclus" dans Q, ça veut dire qu'il n'y aurait que des rationnels dans cette boule... es-tu sûr que c'est possible ?
Pour y voir plus clair :
Penses-tu qu'il existe un tel intervalle inclus dans Q, c'est-à-dire ne contenant que des rationnels ?
Critou
non il y aura toujours des rationnels,et il en est de même pour R\Q qui est aussi un ensemble fermé de R dans ce cas?
Hello,
La question c'est "est-il ouvert". Réponds seulement que non, il ne l'est pas (ça vient du fait que dans tout intervalle de R il y aura toujours à la fois des rationnels et des irrationnels : Q et R\Q sont denses dans R).
Ce n'est pas parce qu'un ensemble n'est pas ouvert qu'il est fermé. Un ensemble peut être ouvert, fermé, les deux ou ni l'un ni l'autre...
Si tu veux montrer qu'un ensemble est fermé, une possibilité est de montrer que son complémentaire est ouvert.
Ici, penses-tu alors que Q soit un fermé de R ?
L'ensembles des rationnels n'est pas ouvert dans R? Pourtant il est stable par union et intersection finie non?`Je ne comprends pas bien
Le fait que soit un sous-espace topologique de
ne fait de lui ni un ouvert, ni un fermé de
. Veux-tu préciser ?
A +
Oui mais ça n'a aucun rapport avec le fait d'être ouvert...
Quelle est la définition d'être ouvert?
Ouvert : Définition générale
Si X est un ensemble on peut définir sur X une topologie T en prenant un ensemble T de parties de X vérifiant les trois propriétés suivantes :
X et l'ensemble vide appartiennent à T,
T est stable par intersection finie : U1∩U2 appartient à T dès que U1 et U2 appartiennent à T,
T est stable par réunion quelconque : pour tout ensemble I (fini ou infini) d'indices, appartient à T dès que tous les Ui appartiennent à T.
Par définition, un ensemble U est un ouvert de X pour cette topologie si et seulement si U est un élément de T
Parce que si on utilise la "définition" plus classique, on ne va pas bien loin... :
Un ouvert est un sous-ensemble (..) qui ne contient aucun point de sa frontière.
La frontière d'un sous-ensemble (...) correspond à l'adhérence du sous-ensemble privée de son intérieur.
On appelle intérieur de A le plus grand ouvert de X inclus dans A.
L'ensembles des rationnels n'est pas ouvert dans R? Pourtant il est stable par union et intersection finie non?
Tu dis que l'ensemble des rationnels est stable par intersection finie. Peux-tu me dire ce qu'est l'intersection de deux rationnels ? (ça doit être un rationnel, d'après ce que tu affirmes).
Tu ne comprends pas bien la définition d'ouverts visiblement. Un ensemble n'est pas ouvert s'il est stable par intersection (avec quoi d'ailleurs).
La définition que tu donnes te dépasses probablement un peu parce qu'elle est "récursive", dans le sens ou tu te donnes un ensemble d'ensembles U1,...Un,... que tu appelles T (en fait c'est pas encore T). Dans T tu as mis tous les ensembles U1,...,Un,... et aussi toutes les intersections finies possibles de ces ensembles et toutes les unions possibles de ces ensembles. Un ensemble est ouvert si et seulement s'il est dans T.
Usuellement, on prend U1,...,Un,... les intervalles (ou disques) ouverts autour de n'importe quel point. Ainsi, tu as qu'un ensemble E est ouvert si et seulement si pour tout point x de E que tu prends, tu es capable de trouver un r>0 tel que B(x,r) est inclus dans E.
Ca ne dis PAS que pour tout x de E, tu es capable de trouver un r>0 tel que B(x,r) contient un point y de E. C'est beaucoup plus fort que ça. En fait, B(x,r) contient toujours au moins x, donc cette proposition est une tautologie.
Salut!
C'est pas pour faire de mauvais esprit mais en plus je pense grandement que l'intersection de deux rationnels n'est pas vide
Un ensemble n'est pas ouvert s'il est stable par intersection
Oui au temps pour moi, j'ai mélangé caractérisation et propriété : l'intersection finie d'ouverts est ouverte.
Ainsi, tu as qu'un ensemble E est ouvert si et seulement si pour tout point x de E que tu prends, tu es capable de trouver un r>0 tel que B(x,r) est inclus dans E.
Oui mais une boule n'a de sens que dans un espace normé?
Effectivement, l'intersection de 2 et 4 n'est pas forcement vide, c'est le mauvais coté de la thoerie des ensemble qui n'a pas de typage (si 2 et 4 sont des coupures de Q, alors ils ont des tas d'elements en commun...), mais ca n'a pas grand chose à voir avec ce dont on s'occupe ici, et c'etait plus une boutade plutot qu'autre chose.
Sinon pour recentrer une boule a un sens dans tout espace métrique, sur Q tu as la distance induite par celle de R.
Oui mais une boule n'a de sens que dans un espace normé?
Dans un espace métrique plutôt, mais j'ai dit usuellement, donc je me plaçais dans un contexte facile. Il faut commencer par maîtriser les contextes faciles avant d'augmenter le degré d'abstraction. De plus, ton exemple de départ est dans R, donc il n'y a pas de problème.
Le reste de ce que je dis fonctionne dans un espace topologique quelconque.
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