Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup Analyse complexeTopics traitant de analyse complexe [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Ensembles des nombres complexes

Posté par
Ramanujan 13-02-19 à 14:03

Bonjour,

Soit \U l'ensemble des nombres complexes de module 1. Une proposition non démontrée dans mon cours que j'aimerais démontrer.

Proposition :

1/ \forall \theta \in \R : |e^{\i \theta} | =1

J'ai fait  |e^{\i \theta} | =\sqrt{\cos^2(\theta) +\sin^2(\theta)}=\sqrt{1}=1

2/ Pour z \in \U , \exists \theta \in \R tel que : z = e^{\i \theta}

Je ne vois pas comment faire....

3/ Si \theta et \varphi sont des réels alors :

e^{\i \theta} = e^{\i \varphi} \Leftrightarrow \theta \equiv \varphi [2 \pi]

J'ai fait :

e^{\i \theta} = e^{\i \varphi} \Leftrightarrow \cos(\theta) + i \sin(\theta) = \cos(\varphi)+i \sin(\varphi)
\Leftrightarrow \cos(\theta)=\cos(\varphi) et \sin(\theta)=\sin(\varphi)

Et là je bloque

Posté par
carpediemre : Ensembles des nombres complexes 13-02-19 à 14:15

salut

z \in \U => \exists (a, b) \in \R^2  /  z = a + ib $ et $ a^2 + b^2 = 1 => ....

e^{it} = e^{iu} \iff e^{i(t - u)} = 0 \iff ...

Posté par
lionel52re : Ensembles des nombres complexes 13-02-19 à 14:15

Bah cest quoi theta par rapport à z géométriquement?

Posté par
Ramanujanre : Ensembles des nombres complexes 13-02-19 à 14:52

Bonjour Carpediem

Merci, pour le point 2, d'après mon cours sur la trigo si on a : a^2 + b^2 =1 il existe un \theta \in \R tel que : a = \cos(\theta) et b = \sin(\theta)

Donc z= \cos(\theta)  + i \sin(\theta) = e^{i \theta}

Le point 2 est réglé

Pour le point 3 je pense pas qu'il faille faire avec cette méthode car dans la proposition suivante on a :

\dfrac{e^{\i \theta}}{ e^{\i \varphi} }= e^{i (\theta - \varphi)}  

Mais j'avais \cos(\theta) = \cos(\varphi) donc :

\theta \equiv \varphi [2 \pi] ou \theta \equiv -\varphi [2 \pi]

Et : \sin(\theta) = \sin(\varphi) donc :

\theta \equiv \varphi [2 \pi] ou \theta \equiv \pi -\varphi [2 \pi]

Et là je vois pas comment continuer

Posté par
Ramanujanre : Ensembles des nombres complexes 13-02-19 à 14:53

lionel52 @ 13-02-2019 à 14:15

Bah cest quoi theta par rapport à z géométriquement?


Son argument. Mais je suis dans le début du cours sur les complexes, on parle pas encore d'argument.

Posté par
lionel52re : Ensembles des nombres complexes 13-02-19 à 15:41

Pour la 3 tu as déjà tout fait...

Posté par
Ramanujanre : Ensembles des nombres complexes 13-02-19 à 16:56

Justement c'est la fin qui me bloque, je comprends pas comment conclure

J'ai :

(\theta \equiv \varphi [2 \pi] ou \theta \equiv -\varphi [2 \pi] ) ET (\theta \equiv \varphi [2 \pi] ou \theta \equiv \pi -\varphi [2 \pi] )

Et là je vois pas.

Posté par
matheuxmatoure : Ensembles des nombres complexes 13-02-19 à 17:22

que c'est compliqué !

méthode 1 : remarque de Carpediem ...

ei(-) = 1

donc cos(-)=1 et sin(-)=0

donc - = 0 [2]

méthode 2 :

si deux angles ont même cosinus et sinus, alors leurs points représentatifs sur le cercle trigo sont confondus ... donc les angles sont égaux "à un tour près"... donc
= [2]

faut arrêter de peindre la girafe !

Posté par
carpediemre : Ensembles des nombres complexes 13-02-19 à 17:31

oui merci matheuxmatou d'avoir corrigé ...

Posté par
Ramanujanre : Ensembles des nombres complexes 13-02-19 à 17:37

Ok merci Matheuxmatou !

Carpediem j'avais vu l'erreur mais pas bien grave ici j'avais compris le principe.

Posté par
verdurinre : Ensembles des nombres complexes 13-02-19 à 17:37

Bonsoir,
je plussoie matheuxmatou.

Mais, si on y tient, on peut faire une disjonction de cas :

  \theta \equiv \varphi [2 \pi] \text{ et }\theta \equiv \varphi [2 \pi]
OU
  \theta \equiv \varphi [2 \pi]\text{ et }\theta \equiv \pi -\varphi [2 \pi]
OU
  \theta \equiv -\varphi [2 \pi] \text{ et }\theta \equiv \varphi [2 \pi]
OU
  \theta \equiv -\varphi [2 \pi] \text{ et }\theta \equiv \pi -\varphi [2 \pi]

Posté par
matheuxmatoure : Ensembles des nombres complexes 13-02-19 à 17:38

tout à fait verdurin ... méthode adaptée pour notre ami Ramanujan qui aimes les choses velues ...

Posté par
Ramanujanre : Ensembles des nombres complexes 13-02-19 à 18:19

@Verdurin

Pas compris la règle de logique que vous utilisez :

(A \cup B) \cap (C \cup D) = ... ?

Pas encore vu les règles de logique dans mon nouveau livre.

Posté par
matheuxmatoure : Ensembles des nombres complexes 13-02-19 à 18:21

distributivité du ET sur le OU , et réciproquement...

il serait bon de faire de la logique avant de s'attaquer aux autres domaines des maths !

Posté par
Ramanujanre : Ensembles des nombres complexes 13-02-19 à 18:41

matheuxmatou @ 13-02-2019 à 18:21

distributivité du ET sur le OU , et réciproquement...

il serait bon de faire de la logique avant de s'attaquer aux autres domaines des maths !


Je suis au chapitre 3 sur les complexes et le chapitre sur les ensembles est seulement au chapitre 6.

Après j'ai quelques notions de logiques comme la négation d'une proposition etc...

Posté par
Ramanujanre : Ensembles des nombres complexes 13-02-19 à 18:43

verdurin @ 13-02-2019 à 17:37

Bonsoir,
je plussoie matheuxmatou.

Mais, si on y tient, on peut faire une disjonction de cas :

  \theta \equiv \varphi [2 \pi] \text{ et }\theta \equiv \varphi [2 \pi]
OU
  \theta \equiv \varphi [2 \pi]\text{ et }\theta \equiv \pi -\varphi [2 \pi]
OU
  \theta \equiv -\varphi [2 \pi] \text{ et }\theta \equiv \varphi [2 \pi]
OU
  \theta \equiv -\varphi [2 \pi] \text{ et }\theta \equiv \pi -\varphi [2 \pi]


Donc la seule qui est vraie est :

  \theta \equiv \varphi [2 \pi] \text{ et }\theta \equiv \varphi [2 \pi]

Ce qui donne \theta \equiv \varphi [2 \pi]

Posté par
lionel52re : Ensembles des nombres complexes 13-02-19 à 19:08

Non.

Posté par
verdurinre : Ensembles des nombres complexes 13-02-19 à 19:32

Pour préciser la réponse de lionel52.
On peut avoir \theta \equiv \varphi [2 \pi]\text{ et }\theta \equiv \pi -\varphi [2 \pi] pour certaines valeurs de \theta et \varphi. . .

Posté par
Ramanujanre : Ensembles des nombres complexes 13-02-19 à 21:22

Je n'ai pas compris alors comme faire avec la disjonction de cas

Posté par
lionel52re : Ensembles des nombres complexes 13-02-19 à 21:59

Tu veux montrer quoi? Phi = theta [2pi]

Il se passe quoi dans les 2 premiers cas? Dans le 3e? Dans le 4e?

Posté par
Ramanujanre : Ensembles des nombres complexes 13-02-19 à 22:44

Le premier cas donne :

\theta \equiv \varphi [2 \pi]  

Le deuxième cas donne :

  \varphi \equiv \pi - \varphi [2 \pi] soit   \varphi \equiv \dfrac{\pi}{2} [2 \pi]

Et   \theta\equiv \dfrac{\pi}{2} [2 \pi]

Le 3ème ca donne :
  \theta \equiv 0 [2 \pi] \text{ et }\varphi\equiv 0 [2 \pi]

Le 4ème cas donne :
  0  \equiv \pi [2 \pi]  ce qui est absurde.

Donc dans les 3 premiers cas on a bien \theta \equiv \varphi [ 2 \pi] et dans le dernier cas on a une contradiction.

Posté par
lionel52re : Ensembles des nombres complexes 13-02-19 à 23:05

Dailleurs si tu suis bien dans le 2e cas tes mm pas obligé dexpliciter phi vu que tu sais déjà que phi = theta [2pi]

Posté par
Ramanujanre : Ensembles des nombres complexes 13-02-19 à 23:07

Bah non je peux pas vu qu'il y a le { et  } \theta \equiv \pi -\varphi [2 \pi]

Posté par
lionel52re : Ensembles des nombres complexes 13-02-19 à 23:42

...
....
......
.........
...........

Posté par
lionel52re : Ensembles des nombres complexes 13-02-19 à 23:49

Dring dring on se reveille

Si on a les équations
x = y,  
x+167y =225.4+12z
225848.99x = 196z

Jai besoin de résoudre le systeme pour me rendre compte que ah ben oui x = y?

Posté par
Ramanujanre : Ensembles des nombres complexes 13-02-19 à 23:54

Oui mais on aurait pu avoir une autre solution que seulement : \theta \equiv \varpho [2 \pi] non ?  

Ah je crois avoir compris de toute façon si la 2ème équation nous donne autre chose que  \theta \equiv \varpho [2 \pi], l'intersection sera vide et ça changera rien à notre solution finale vu qu'on a des OU.

Posté par
Ramanujanre : Ensembles des nombres complexes 13-02-19 à 23:55

J'ai fait une erreur de frappe c'est :

\theta \equiv \varphi [2 \pi]

Posté par
matheuxmatoure : Ensembles des nombres complexes 14-02-19 à 11:29

tout cela me rappelle ce technocrate tournant autour d'un séquoia géant, poursuivi par un ours...

comme je lui signalais de faire attention car l'ours allait le rattraper, il me répondis :
"t'inquiète pas, j'ai 3 tours d'avance ..."

Posté par
matheuxmatoure : Ensembles des nombres complexes 14-02-19 à 11:29

*répondit

Posté par
carpediemre : Ensembles des nombres complexes 14-02-19 à 11:31

Posté par
Ramanujanre : Ensembles des nombres complexes 14-02-19 à 12:20

Oui je sais j'ai perdu du temps pour rien avec mes 4 cas alors que c'était direct


Rechercher
Menu
Espace membre
31 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1719 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !