Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre Analyse complexeTopics traitant de analyse complexe [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

Eqation complexe avec module

Posté par
moundir 03-07-16 à 02:23

bonsoir

merci de m'aider à resoudre equation complexe
Il es demandé de determiner l'ensemble des points M qui verifient l'équation
|z-i|=2|z+2i|

j'ai posé le point M a pour affixe z , A pour affixe i et B pour affixe -2i

donc l'équation devient en terme de distance : AM=2BM
là je bloque je sais que que je dois utiliser le barycentre sans plus

merci encore

Posté par
Razesre : Eqation complexe avec module 03-07-16 à 02:37

Posez z=x+iy, tu obtiendra une équation en x et y

Posté par
moundirre : Eqation complexe avec module 03-07-16 à 02:41

merci pour la reponse

j'ai omis de dire qu'il faut trouver la solution par le biais geometrique et non algebrique

Posté par
Razesre : Eqation complexe avec module 03-07-16 à 02:59

Si on reporte nos points sur un repère orthonormé.

Nous constatons que l'ensemble des points solutions sont à une distance de A double de la distance de B. C'est une parabole

Posté par
Razesre : Eqation complexe avec module 03-07-16 à 03:10

Excuse moi, c'est un cercle, je vais t'envoyer les indices.

Posté par
Razesre : Eqation complexe avec module 03-07-16 à 03:26

Soit K un point, nous avons:
\left \| \overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KM} \right \|^2= 4\left \| \overrightarrow{BK}+\overrightarrow{KM} \right \|^2\Leftrightarrow

\left \| \overrightarrow{AK} \right \|^2+\left \| \overrightarrow{KM} \right \|^2+2\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{KM}=4\left \| \overrightarrow{BK} \right \|^2+4\left \| \overrightarrow{KM} \right \|^2+8\overrightarrow{BK}.\overrightarrow{KM}

Posté par
Razesre : Eqation complexe avec module 03-07-16 à 03:34

D'où: 3\left \| \overrightarrow{KM} \right \|^2+\overrightarrow{KM}.(8\overrightarrow{BK}-2\overrightarrow{AK})+4\left \| \overrightarrow{BK} \right \|^2-\left \| \overrightarrow{AK} \right \|^2=0

Cherchons le point K tel que: 8\overrightarrow{BK}-2\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{0}

\Leftrightarrow 8(z_K-z_B)-2(z_K-z_A)=0

Posté par
Razesre : Eqation complexe avec module 03-07-16 à 05:22

\Leftrightarrow 4(z_K-z_B)-(z_K-z_A)=0
\Leftrightarrow 4(z_K+2i)-(z_K-i)=0\Leftrightarrow z_K=-3i

3\left \| \overrightarrow{KM} \right \|^2+0+4\left \| \overrightarrow{BK} \right \|^2-\left \| \overrightarrow{AK} \right \|^2=0
\left \| \overrightarrow{KM} \right \|^2=\frac{1}{3}(\left \| \overrightarrow{AK} \right \|^2-4\left \| \overrightarrow{BK} \right \|^2) Continuez le calcul.

Donc c'est un cercle de centre K et de rayon ...

Posté par
alb12re : Eqation complexe avec module 03-07-16 à 07:51

salut,
1/ MA^2-4MB^2=0
2/ factorisation scalaire
3/ I barycenre de (A,1) et (B,-2), J barycentre de ...
4/ conclure

Posté par
etniopalre : Eqation complexe avec module 03-07-16 à 11:11

Dans le temps il valait mieux savoir que , pour tout nombre k > 0  , " le lieu des points du plan dont le rapport des distances à 2 points fixes A et B est k , est  le cercle dont un diamètre a pour extrémités les points de la droites AB qui divisent le segment [A,B] dans ce même rapport k "

Posté par
malou Webmasterre : Eqation complexe avec module 03-07-16 à 11:32

dans le temps ! comme tu dis ! ....
comme dit l'autre "ça nous rajeunit pas..."
sinon, actuellement, la méthode d'alb12 est à mon avis celle attendue....

Posté par
flightre : Eqation complexe avec module 03-07-16 à 11:35

salut

en cordonnées cartesienne en posant z =x+iy
|z-i| = |x+iy-i| = |x+i(y-1)| = (x²+(y-1)²)
|z+2i| = |x+iy+2i| = |x+i(y+2)| = (x²+(y+2)²)

on a donc  (x²+(y-1)²) = 2.(x²+(y+2)²)

simplifier tout ca et tomber sur une équation de cercle

Posté par
malou Webmasterre : Eqation complexe avec module 03-07-16 à 11:46

ben oui, mais....

moundir @ 03-07-2016 à 02:41

merci pour la reponse

j'ai omis de dire qu'il faut trouver la solution par le biais geometrique et non algebrique

Posté par
alb12re : Eqation complexe avec module 03-07-16 à 11:56

Ah ces intervenants qui ne lisent pas la question posee

Posté par
carpediemre : Eqation complexe avec module 03-07-16 à 12:32

salut

|z - i| = 2|z - 2i| <=> \vec {AM}^2 - 4\vec {BM}^2 = 0 <=> (\vec {AM} - 2 \vec {BM}).(\vec  {AM} + 2 \vec {BM}) = 0 (1)

soit G = bar {(A, 1), (B, -2)} et H = bar {(A, 1), (B, 2)}

alors (1) <=>  \vec {GM}. \vec {HM} = 0 <=> M appartient au cercle de diamètre [GH]

Posté par
alb12re : Eqation complexe avec module 03-07-16 à 13:07

suggérer n'eût-il pas été suffisant ?

Posté par
carpediemre : Eqation complexe avec module 03-07-16 à 13:34

oui tu as raison ... ... j'ai fait le JP ...


mais c'était aussi par rapport aux interventions de Razes qui se complique bien les choses ...

Posté par
alb12re : Eqation complexe avec module 03-07-16 à 13:39

Tout excusé mais un J-P suffit

Posté par
moundirre : Eqation complexe avec module 03-07-16 à 20:10

bonjour

merci pour vos réponses

pour reprendre @carpediem, j'ai essayé de refaire les calculs :

|z-i|=2|z+2i|, d'où par definition:
||\overrightarrow{AM}||=2||\overrightarrow{BM}||
||\overrightarrow{AM}||^2=4||\overrightarrow{BM}||^2
||\overrightarrow{AM}||^2-4||\overrightarrow{BM}||^2=\overrightarrow{0} , afin de passer à un produit scalaire
(\overrightarrow{AM}-2\overrightarrow{BM}).(\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{BM})=0
(-\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}).(-\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB})=0, on utilise la formule générale du barycentre:
\overrightarrow{MG}.(-3\overrightarrow{MH})=0
-3\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{MH}=0 (sauf erreur)

donc produit scalaire nul les vecteurs MG et MH sont ortho d'où la conclusion du cercle

encore merci (petit exo qui m' poussé à revoir d'autres cours! barycentre, produit scalaire, triangle inscrit)

Posté par
malou Webmasterre : Eqation complexe avec module 03-07-16 à 20:15

4e ligne : pas de flèche sur ton 0 à droite, c'est le nombre 0, pas le vecteur

là :
||\overrightarrow{AM}||^2-4||\overrightarrow{BM}||^2=0 , afin de passer à un produit scalaire
puis \overrightarrow{AM}^2-4\overrightarrow{BM}^2=0
etc...ensuite Ok

Posté par
moundirre : Eqation complexe avec module 03-07-16 à 20:24

oui bien sur mais je devais plutot retirer les 2 barres des normes et donc ça sera le vecteur nul

Posté par
carpediemre : Eqation complexe avec module 03-07-16 à 20:34

sans les doubles barres ou avec les deux relations que malou a écrites son des égalités de nombres !!!

Posté par
malou Webmasterre : Eqation complexe avec module 03-07-16 à 20:41

quand tu écris \vec{AM}^2, c'est le carré scalaire (donc un nombre)
un carré scalaire, c'est un produit scalaire
\vec{AM}^2=\vec{AM}.\vec{AM}

Posté par
moundirre : Eqation complexe avec module 03-07-16 à 20:59

Ah oui bien sur tu as raison

Merci

Posté par
malou Webmasterre : Eqation complexe avec module 03-07-16 à 21:02

de rien ! avec plaisir


Rechercher
Menu
Espace membre
12 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1742 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !