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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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equa diff

Posté par
clara301002
24-11-22 à 11:13

Bonjour tout le monde, petit problème sur les équa diff encore ..
J'ai -µ² v′′(x) + v(x) = w(x)  (1)  , v(0) = vl et v(1) = vr

1ere question : résoudre l'équation différentielle homogène :
   je pose v(x) = exp(rx), en remplaçant dans l'équation je trouve r=0
   ou r= 1/µ²

2ème question :  dériver 1/(2µ) sin(|x|/µ) ,
  je trouve 1/(2µ²)(-sin(|x|/µ) - |x|/µ(cos(|x|/µ))
  Défini partout et continue ? j'ai trouvé qu'elle n'est pas définie en 0
  mais y a t-il d'autres valeurs ? pour la continuité j'en ai aucune idée ..

3 ème question :  Soit v1 et v2 deux solutions du problème (1)
Quel est le problème vérifié par v˜ := v1 − v2?
   je ne comprends pas cette question

si quelqu'un peut m'aider ! Merci

Posté par
clara301002
re : equa diff 24-11-22 à 11:14

clara301002 @ 24-11-2022 à 11:13

Bonjour tout le monde, petit problème sur les équa diff encore ..
J'ai -µ² v′′(x) + v(x) = w(x)  (1)  , v(0) = vl et v(1) = vr
ici x appartient a l'intervalle 0, 1 fermé

1ere question : résoudre l'équation différentielle homogène :
   je pose v(x) = exp(rx), en remplaçant dans l'équation je trouve r=0
   ou r= 1/µ²

2ème question :  dériver 1/(2µ) sin(|x|/µ) ,
  je trouve 1/(2µ²)(-sin(|x|/µ) - |x|/µ(cos(|x|/µ))
  Défini partout et continue ? j'ai trouvé qu'elle n'est pas définie en 0
  mais y a t-il d'autres valeurs ? pour la continuité j'en ai aucune idée ..

3 ème question :  Soit v1 et v2 deux solutions du problème (1)
Quel est le problème vérifié par v˜ := v1 − v2?
   je ne comprends pas cette question

si quelqu'un peut m'aider ! Merci

Posté par
phyelec78
re : equa diff 24-11-22 à 12:19

Bonjour,

pour la question 1)

v(x)= exp(rx) donc v''(x)=r2exp(rx)

quand on remplace dans l'équation homogène on a :

-\mu^2r2exp(rx) +exp(rx)=0

donc

\mu^2r2exp(rx) =exp(rx)

pour moi cela ne donne pas les valeur que vous avez trouvées pour \mu^2

Posté par
phyelec78
re : equa diff 24-11-22 à 12:20

erratum :pour moi cela ne donne pas les valeurs que vous avez trouvées pour r

Posté par
clara301002
re : equa diff 24-11-22 à 12:27

j'ai mis exp(rx) en facteur et comme il ne s'annule jamais je peuc l'enlever et il reste -mu²r² + r = 0 donc r(-mu²r + 1) = 0
donc r = 0 ou -mu²r = -1 donc r = 1/ mu² non ?

Posté par
clara301002
re : equa diff 24-11-22 à 12:30

ah oui je me suis trompée j'ai mis un r en trop

Posté par
clara301002
re : equa diff 24-11-22 à 12:31

on trouve r² = -1/(mu)² du coup

Posté par
phyelec78
re : equa diff 24-11-22 à 12:43

vous êtes sûr pour le signe "-" dans on trouve r² = -1/(mu)² ? et d'où vient le m?

Posté par
phyelec78
re : equa diff 24-11-22 à 12:44

ok j'ai compris le m : c'est la lettre mu.

Posté par
phyelec78
re : equa diff 24-11-22 à 12:46

en plus, comment trouvez-vous -mu²r² + r = 0 ?, refaites pas à pas le calcul.

Posté par
phyelec78
re : equa diff 24-11-22 à 12:47

ne prenez pas en compte mon dernier poste, j'ai noté que vous aviez vu votre erreur de calcul.

Posté par
clara301002
re : equa diff 24-11-22 à 12:49

phyelec78 @ 24-11-2022 à 12:43

vous êtes sûr pour le signe "-" dans on trouve r² = -1/(mu)² ? et d'où vient le m?

ah non donc on a r² = 1/mu²

Posté par
clara301002
re : equa diff 24-11-22 à 12:49

donc r = 1/mu ou -1/mu

Posté par
clara301002
re : equa diff 24-11-22 à 12:50

Merci beaucoup pour le signalement de l'erreur

Avez vous une idée pour la suite ? surtout pour la question 3 ?

Posté par
phyelec78
re : equa diff 24-11-22 à 13:07

oui pour la question1). Par contre avant de passer à la question3), j'aimerais mieux comprendre la question 2). Pourriez-vous me la retranscrire intégralement. Cela me permettra de voir si votre réponse est correcte et sans doute aider pour la compréhension de la question3).

Pour dans la question 2) y a t-il une valeur absolue sur x? si x appartient à [0,1]?

Posté par
clara301002
re : equa diff 24-11-22 à 17:47

oui x appartient à R pour la question 2
l'intervalle était seulement pour la question 1

Posté par
clara301002
re : equa diff 24-11-22 à 17:49

il faut dériver la question et dire si cette dérivée est continue et et définie

Posté par
clara301002
re : equa diff 24-11-22 à 17:49

clara301002 @ 24-11-2022 à 17:49

il faut dériver la question fonctionet dire si cette dérivée est continue et et définie

Posté par
phyelec78
re : equa diff 24-11-22 à 20:40

merci pour ces nouveaux éléments pour la question  qui font que j'ai un doute sur ce que vous trouvez. Voila pourquoi :

a) Définition de ǀxǀ.
La fonction valeur absolue est la fonction définie sur ℝ par g(x) = ǀxǀ.
Étant donné un réel x, la valeur absolue de x vaut :
x si x ≥ 0 ;
(−x) si x ≤ 0.
Propriété
ǀxǀ est un réel toujours positif.
b) dérivée de ǀxǀ.
La fonction valeur absolue prenant deux valeurs différentes suivant les valeurs de x, sa dérivée fera de même.
Propriétés
    Si x < 0, sa dérivée vaut −1.
    Si x > 0, sa dérivée vaut 1.
    La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0.

c) la dérivée de fog
(fog )'=(f'og). g'

rappel : fog(x)=f(g(x))
moi quand j'applique b et c je ne trouve pas la même dérivée que vous.

dans votre exercice regarder ce que vaut f et ce que vaut g puis faites le calcul.

Posté par
phyelec78
re : equa diff 24-11-22 à 20:59

une question , la dérivée que vous de calculer est bien par rapport à x ?. C'est ce que j'ai supposé.

Posté par
clara301002
re : equa diff 25-11-22 à 00:29

phyelec78 @ 24-11-2022 à 20:59

une question , la dérivée que vous de calculer est bien par rapport à x ?. C'est ce que j'ai supposé.


ah je suis vraiment pas sure !!  je crois bien qu'ici la dérivée de x = 0 car x est fixé mais je ne suis plus très sûre, mais dans mon calcul de dérivée j'ai mis |x|'= 0 car j'ai cru qu'il était fixé
je regarde ça en rentrant  et je vous re dis

Posté par
clara301002
re : equa diff 25-11-22 à 00:43

c'est écrit sous la forme :
Vf : x appartient à |R |—-> 1/(2µ) sin(|x|/µ) appartient à |R
Donc avec ce x appartient à R je me suis dit qu'il est fixé et  on sait que mu est un réel positif donc je le suis dit que c'est  le variable
mais je ne suis plus sure maintenant !

Posté par
phyelec78
re : equa diff 25-11-22 à 11:42

vous avez x appartient à |R | donc x est la variable. Vf(x)=1/(2µ) sin(|x|/µ)
sinon pour x=0  Vf(0)=1/(2µ) sin(|0|/µ) =0 et   |0|'= 0

Posté par
clara301002
re : equa diff 25-11-22 à 12:08

aie d'accord merci, je re calcule la dérivée alors

Posté par
clara301002
re : equa diff 25-11-22 à 12:09

donc pour la dérivée il va falloir faire deux cas avec x st positif et st négatif ? ou c'est possible de tout faire d'un coup

Posté par
phyelec78
re : equa diff 25-11-22 à 12:19

on ne peut pas faire les 2 en même temps, donc il faut faire les cas :
x>0
x<0
et ne pas oublier x=0

Posté par
clara301002
re : equa diff 25-11-22 à 12:25

Pour x positif je trouve Vf'(x) = 1/2(mu)² * cos(|x| / mu)

Car j'ai bien dit que 1/2mu est une constante donc de dérivée 0 car le mu est fixé

Posté par
clara301002
re : equa diff 25-11-22 à 12:27

   -1/2(mu)² * cos(|x| / mu) et ça pour x négatif

Posté par
phyelec78
re : equa diff 25-11-22 à 12:44

presque, si vous précisez x positif et négatif alors il faut enlever la valeur absolue

si x> 0  Vf'(x) = 1/2(mu)² * cos(x/ mu)
si x< 0  Vf'(x) = -1/2(mu)² * cos(x/ mu)

maintenant il faut regarder  la continuité de Vf 'en x=0. Comment faites vous?

Posté par
phyelec78
re : equa diff 25-11-22 à 12:46

Citation :
que voulez dire "Car j'ai bien dit que 1/2mu est une constante donc de dérivée 0 car le mu est fixé"

Posté par
clara301002
re : equa diff 25-11-22 à 13:05

phyelec78 @ 25-11-2022 à 12:44

presque, si vous précisez x positif et négatif alors il faut enlever la valeur absolue
ah oui bien sûr merci
si x> 0  Vf'(x) = 1/2(mu)² * cos(x/ mu)
si x< 0  Vf'(x) = -1/2(mu)² * cos(x/ mu)

maintenant il faut regarder  la continuité de Vf 'en x=0. Comment faites vous?

pour la continuité je regarde la limite des dérivées en 0, il faut qu'elles soient toutes les deux égales à 0,

Posté par
clara301002
re : equa diff 25-11-22 à 13:06

et donc pour x st négatif et st positif, la limite de la dérivée n'est pas égale à 0 donc Vf n'est pas continue en 0

Posté par
phyelec78
re : equa diff 25-11-22 à 13:12

oui,c'est la bonne démarche, mais il ne faut pas regarder en 0  ( toujours à cause de la valeur absolue) , il faut regarder en :

0+ si x>0 c'est à dire dérivée à droite
0- si x<0 c'est à dire dérivée à gauche

et effectivement

Citation :
pour x st négatif et st positif, la limite de la dérivée n'est pas égale à 0 donc Vf n'est pas continue en 0

Posté par
clara301002
re : equa diff 25-11-22 à 13:22

donc elle est définie partout mais pas continue en 0

Posté par
phyelec78
re : equa diff 25-11-22 à 13:37

montrez moi ce que vous avez rédigé, il ne faut pas dire "elle est définie partout mais pas continue en 0" mais le prouver.  
1) que vaut la dérivée à droite
2) que vaut la dérivée à gauche
3)  que vaut la dérivée en 0
4) conclure

Posté par
clara301002
re : equa diff 25-11-22 à 14:21

Dérivée a droite : 1/2(mu)^2
                   à gauche : -1/2(mu)^1
donc pas continue en 0

Dérivée en 0 égale à 0 donc définie en 0

Pour tout x dans R la fonction est définie

La fonction est continue partout sauf en 0

Posté par
clara301002
re : equa diff 25-11-22 à 14:22

clara301002 @ 25-11-2022 à 14:21

Limite en 0Derivéea droite : 1/2(mu)^2
                   à gauche : -1/2(mu)^1
donc pas continue en 0

Dérivée en 0 égale à 0 donc définie en 0

Pour tout x dans R la fonction est définie

La fonction est continue partout sauf en 0

Posté par
clara301002
re : equa diff 25-11-22 à 14:23

dérivée à droite : 1/2(mu)^2 *cos(x/mu)

Posté par
phyelec78
re : equa diff 25-11-22 à 15:01


dérivée à droite : 1/2(mu)^2 *cos(x/mu) : non

mais on vous y êtes presque, mais il vous manque encore quelque chose. Il faut bien appliquer la définition.
Vf'(x) est continue en x0 si :

en 0+ cela donne :

 \lim_{x ->0^+}Vf'(x)=\lim_{x ->0^+}\dfrac1{2\mu^2}cos(\dfrac{x}{\mu})= \dfrac1{2\mu^2} car cos (0+/mu)=1


même chose en en 0- cela donne :

 \lim_{x ->0^-}Vf'(x)=\lim_{x ->0^-}-\dfrac1{2\mu^2}cos(\dfrac{x}{\mu})=- \dfrac1{2\mu^2}  \;     car cos (0-/mu)=1

Posté par
clara301002
re : equa diff 25-11-22 à 15:13

phyelec78 @ 25-11-2022 à 15:01


dérivée à droite : 1/2(mu)^2 *cos(x/mu) : non

mais on vous y êtes presque, mais il vous manque encore quelque chose. Il faut bien appliquer la définition.
Vf'(x) est continue en x0 si :

en 0+ cela donne :  d'accord merci mais ça je l'avais écrit en haut déjà c'est pour ça
Il me manques encore quelque chose ?


 \lim_{x ->0^+}Vf'(x)=\lim_{x ->0^+}\dfrac1{2\mu^2}cos(\dfrac{x}{\mu})= \dfrac1{2\mu^2} car cos (0+/mu)=1


même chose en en 0- cela donne :

 \lim_{x ->0^-}Vf'(x)=\lim_{x ->0^-}-\dfrac1{2\mu^2}cos(\dfrac{x}{\mu})=- \dfrac1{2\mu^2}  \;     car cos (0-/mu)=1

Posté par
clara301002
re : equa diff 25-11-22 à 15:16

phyelec78 @ 25-11-2022 à 15:01


dérivée à droite : 1/2(mu)^2 *cos(x/mu) : non

mais on vous y êtes presque, mais il vous manque encore quelque chose. Il faut bien appliquer la définition.
Vf'(x) est continue en x0 si : Vf(X0) = lim Vf(x) pour x tend vers X0

en 0+ cela donne :

 \lim_{x ->0^+}Vf'(x)=\lim_{x ->0^+}\dfrac1{2\mu^2}cos(\dfrac{x}{\mu})= \dfrac1{2\mu^2} car cos (0+/mu)=1


même chose en en 0- cela donne :

 \lim_{x ->0^-}Vf'(x)=\lim_{x ->0^-}-\dfrac1{2\mu^2}cos(\dfrac{x}{\mu})=- \dfrac1{2\mu^2}  \;     car cos (0-/mu)=1

Posté par
clara301002
re : equa diff 25-11-22 à 15:18


Vf'(x) est continue en x0 si : Vf'(X0) = lim Vf'(x) pour x tend vers X0

Posté par
phyelec78
re : equa diff 25-11-22 à 15:18

exacte.

Posté par
phyelec78
re : equa diff 25-11-22 à 15:20

Citation :
  il manque encore quelque chose

c'était juste pour la rédaction

Posté par
clara301002
re : equa diff 25-11-22 à 15:23

D'accord super merci beaucoup
donc là la réponse de la question 2 est complète

Posté par
phyelec78
re : equa diff 25-11-22 à 15:24

maintenant on peut décortiquer la question 3)

v1 solution et v2 solution.

si v1-v2  est solution qu'est-ce que cela veut dire?

Posté par
clara301002
re : equa diff 25-11-22 à 15:27

justement je ne comprends pas cette question
Ça veut dire qu'il y a trois solutions ??

Posté par
phyelec78
re : equa diff 25-11-22 à 15:30

savez vous ce que v1 et v2 valent?

Posté par
clara301002
re : equa diff 25-11-22 à 15:32

non du tout
on a trouvé les deux solutions de l'équation  homogène mais je suis ps sure qu'il demande de trouver les solutions de l'équation (1)

Posté par
phyelec78
re : equa diff 25-11-22 à 15:33

non il n'y pas 3 solutions, il n'y qu'une solution à l'équation de la question 1) car on vous a donné les conditions initiales.

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