salut,
raisonne sur les degrés pour montrer que la solution est de degré 2.

Salut,

  Je ne comprends pas très bien ce que tu veux dire.

bonjour matou

En fait donne toi un exemple y=2x²+3x-2 par exemple; et tu comprendra

Coup de pouce.

Supposons y de degré n >= 2, on aurait y = a.x^n + ...

y' = n.a.x^(n-1) + ...
y'' = n(n-1).a.x^(n-2) + ...

y''(x²+1) = n(n-1).a.x^n + ...

y''(x²+1) - 2y = n(n-1).a.x^n + ... - 2a.x^n - ...

y''(x²+1) - 2y = (n(n-1).a-2a)x^n + ...

Les termes dans les ... sont de puissances inférieures à n.

Pour avoir (x²+1)y''-2y = 0 quel que soit x, on doit alors avoir:
n(n-1).a-2a = 0
Et comme a est différent de 0 (sinon y ne serait pas de degré n)

-> n(n-1) - 2 = 0
n² - n - 2 = 0

dont la seule racine positive est n = 2.

Donc en supposant n >= 2, on voit que seul n = 2 peut convenir.  (1)

Si n < 2, alors y'' = 0 et on ne peut pas avoir (x²+1)y''-2y = 0 sauf si y est la fonction nulle.  (2)

(1) et (2) -->

y est donc de degré 2.
-----
y = ax²+bx+c

y'' = 2a

y''(x²+1) - 2y = 0
2a(x²+1) - 2(ax²+bx+c) = 0

2a - 2bx - 2c = 0
a-c - bx = 0

pour que ce soit vrai quel que soit x, il faut que le système suivant soit vérifié:
a-c = 0
b = 0

-> b = 0 et a = c

On a donc y = ax²+a
-----
Sauf distraction.  

Salut,

Merci pour cette aide et en plus cela confirme le résultat que j'avais trouvé dans la deuxième partie de cette qestion.

       Merci, MATH

Salut,

   Je n'arrive toujours pas à résoudre la question b. du premier exercice.

                                                 Merci d'avance,Au revoir
                                                        MATH

Salut,
  
   Je ne vois toujours pas comment répondre à la question b. de l'exercice 1.


                                            Merci d'avance, Au revoir
                                                        MATH

Salut,

   Dans le premier exercice, je ne vois pas comment répondre à la question b. Pour la question c. j'ai trouvé E'  (1+x²)(2Zy₀'+Z'y₀) mais à vérifier.Et enfin je n'arrive pas à résoudre la question d.
  Pour le deuxième exercice, j'ai des problèmes avec la question b (j'ai trouvé q'elle est paire mais à vérifier), mais aussi avec la question c que je n'arrive pas à résoudre et je n'arrive pas à prover que F(x) r(x⁴).

                                                 Merci d'avance, Au revoir
                                                    MATH

Salut,

   Je n'arrive toujours pas à résoudre les question b, c, d du premier exercice ainsi que les questions c,d du second exercice.

                                              Merci d'avance ,Au revoir
                                                     MATH

Je continue le premier problème.

yo = ax² + a

y = yo.z

y = (ax² + a).z

y' = 2axz + (ax²+a).z'

y'' = 2az + 2ax.z' + (ax²+a).z'' + 2ax.z'

y'' = 2az + 4ax.z' + (ax²+a).z''

(x²+1).y''-2y = 0 -->

(x²+1).(2az + 4ax.z' + a(x²+1).z'') - 2a(x²+1).z = 0

(x²+1).(4ax.z' + a(x²+1).z'')= 0

et comme x²+1 est strictement > 0, on a:

4ax.z' + a(x²+1).z''= 0

Avec a différent de 0, il vient:

4x.z' + (x²+1).z''= 0

Avec Z = z', on a alors:

(x²+1).Z' + 4x.Z = 0
(C'est l'équation E')
----
(x²+1).Z' + 4x.Z = 0  

Z = 0 est solution, mais comme la fonction nulle est interdite au début, c'est à rejeter.

Si Z est différent de 0 -->

(x²+1).Z'/Z + 4x = 0  

(x²+1).Z'/Z = -4x

Z'/Z = -4x/(x²+1)

(dZ/dx)/Z = -4x/(x²+1)

dZ/Z = -4x/(x²+1) dx

ln(C1.Z) = -2.ln(x²+1)

ln(C1.Z) = ln[(1/(1+x²))²]

Z = 1/[C1.(1+x²)²]

Et en posant C2 = 1/C1 -->

Z = C2/(1+x²)²

z' = C2/(1+x²)²

Intégtation d'une fonction rationnelle ->

z = (1/2).C2[arctg(x) + (x/(x²+1))] + C3

et avec y = yo.z -->

y = a(x²+1).{(1/2).C2[arctg(x) + (x/(x²+1))] + C3}

En posant a.(1/2).C2 = A et a.C3 = B, il vient:

y = A(x²+1).arctg(x) + Ax + B(x²+1)

y = Ax + (x²+1).(A.arctg(x) + B)

Avec A et B des constantes.
-----
Sauf distraction.  

Salut,


   Tout d'abord je n'arrive pas démontrer comment une fonction y de classe C² peut s'écrire y_oz avec z de classe C².
   Ensuite, je n'arrive pas à démontrer, dans le second exercice, que F est de classe C¹.
   Enfin, toujours dans le second exercice, je n'arrive pas à montrer que F(x) r(x⁴).


   Merci à J-P pour sa réponse


                                      Merci d'avance, Au revoir
                                              MATH

Salut matou,

Pour la question c), je ne comprends pas " gif" />*+ ".

Pour la question d),

   soit f:t1/(1+t⁴)

f est définie, conitnue, positive et décroissante sur +, donc x*f(x)^x₀dt*r(t⁴)f(o)*x

Donc sur *+, tu divises par x et tu trouves le résultat demandé.

Je te laisse faire les variations.

Pour l'exo 1, pour intégrer z', tu poses x=tan(u) sachant que 1+tan²(u)=1/cos²(u)

Au plaisir

Pac

Salut,

  Excuse moi pour la faute de frappe je ne l'avais pas vue.
  Au lieu de "gif/>", il faut lire "sur"

                                    désolé

Ok.

Et bien x1/x est une fonction de classe C¹ sur *+ et f (la fonction que j'ai défini précédemment) est continue sur [0,x] donc x^x₀dt/f(t) est une fonction de classe C¹ sur [0,x] ( x quelconque positif).

Par produit de fonctions de classe C¹ sur *+, on a F de classe C¹ sur *+.

Voilà.
Bon courage pour la suite!
++

Salut,

  Faut-il raisonner de la même manière pour la question b de l'exercice 1 ?

                                Merci d'avance, Au revoir
                                      MATH

                                            

une solution particulière évidente de l'équation :
(1+x²)y''-2y = 0
étant y = 1+x²
on cherche la solution générale sous la forme :
y = C(x)*(1+x²) , méthode de la "variation de la constante": C(x)
y' = C'(1+x²)+2xC
y'' = C''(1+x²)+4xC'+2C
le report dans l'équation initiale conduit à :
C''(1+x²)+4xC'=0 d'où : C''/C' = -4x/(1+x²)²
que l'on intègre ce qui donne :
ln(C') = -2ln(1+x²) +k  avec k constante d'intégration
C' = A/(1+x²)²  avec A = exp(k) donc constante.
On intègre C' ce qui donne :
C = A(arctg(x)+x/(1+x²)) + B  avec B constante d'intégration
La solution générale de (1+x²)y''-2y = 0 est donc :
y = A*((1+x²)arctg(x) + x ) + B*(1+x²)
avec A et B les constantes arbitraires d'intégration.

Bonjour,

Moi je dirai simplement pour la question b) de l'exo 1 que toute fonction de classe C² peut être décomposée en produit de deux fonctions de classe C² (z est de classe C² d'apres l'énoncé et yo est de classe C² (polynôme de degré 2))

Je ne vois pas du tout ce qu'on peut mettre d'autres en fait.

Pac

salut,

   Quelle est la méthode pour intégrer 1/(1+x²)²  ?


                                Merci d'avance, au revoir

                                        MATH

Bonjour

J'ai donné une méthode ici


Jord