salut

tu peux déjà remarquer que 1/9 + 1/9 + 1/9 = 1/3

il est donc aisé de majorer x, y et z ...

puis traiter les cas restants à la main ou avec un algorithme ...

Oh, tout simplement ?
Je cherchais plus compliqué.. Décidément !

Merci

de rien

1.
  (1,1,1) est solution .

2.
  Soit  (x,y,z)   *³   une solution .
On peu supposer qu'on a  :  x y z .
Mais   1/xy + 1/yz + 1/zx = 1/3  implique que  x + y + z = 3xyz et   donc 3xyz = x + y + z 3z donc xy 1 donc x = y = 1 et 3z = 2 + z donc aussi z = 1 .

3.
  (1,1,1) est la seule solution .

Bonjour etniopal,
Tu as sans doute mal lu l'énoncé.
Je ne vois pas (1,1,1) solution puisque 1 + 1 +1 = 3 et pas 1/3.
Et 1/xy + 1/yz + 1/zx = 1/3 implique 3(x+y+z) = xyz

carpediem a déjà fait apparaître une solution que je qualifierais "d'évidente" : (3,3,3) .
Mais il y en a d'autres que Zenioh a sans doute trouvées en suivant la piste de carpediem

attention cependant que

Bon, etniopal n'est plus seul à ne pas bien lire les énoncés

Bonsoir,

Pourrait-on utiliser la relation:

qui,répétée,donne aussi  


Alain

Faut que je pense sérieusement à changer mes lunettes .

Bonjour,

L'égalité :  

Nous donne:
a=1 =x,
a+4=5=y,
a+8=9=z
ou encore:

Alain

Bonsoir,

Peut-on dire que l'équation  non homogène, f(x,y,z)= 0  , 3 inconnues, n'a au plus que 3 racines?

En considérant x,y,z non distincts ,nous avons 2 solutions:(x,y,z) =(1,5,9)  et (3,3,3),


Alain

1/xy + 1/yz + 1/zx = 1/3 = 3/9

on cherche donc trois nombres xy, yz et zx dont la moyenne harmonique est 9 ...

si x = 1 alors

1/y + 1/yz + 1/z = 1/3 <=> 3y + 3z + 3 = yz  <=> yz - 3y - 3z - 3 = 0 <=> (y - 3)(z - 3) = 12

donc c'est fini ... dans Z ...


si x = 2 alors :

1/2y + 1/yz + 1/2z = 1/3 <=> y + 2 + z = 2yz/3 <=> 2yz - 3y - 3z - 6 = 0  <=> 4yz - 6y - 6z - 12 = 0 <=> (2y - 3)(2z - 3) = 21

donc c'est fini ... dans Z ...


bon l'exemple d'alainpaul me montre que j'ai dit une connerie ... (surtout en travaillant dans N : en fait on ne majore pas on minore !!! super !!! (je m'auto fous de ma gueule ... évidemment ... et j'ai le droit puisque je le fait avec les autres !!! )

et mes deux essais permettent donc de généraliser en :



pour x = 1 on trouve (à permutation près) (1, 4, 15), (1, 5, 9) _{^{solution d'alainpaul}} et (1, 6, 7)

x = 2 => (x, y, z) = (2, 2, 12) _{^{qui ne convient pas : pgcd = 2}} et (2, 3, 5)

....

Bonsoir,
J'ai trouvé les mêmes solutions par un autre cheminement.
Très docile, on me dit de majorer alors j'ai majoré
Dans 1/xy + 1/yz + 1/zx , un des 3 quotients est supérieur ou égal à 1/9 .
Va pour 1/xy 1/9 . D'où xy 9 .
Par ailleurs z(xy-3) = 3(x+y) ; donc xy 4 .
Après, j'ai laborieusement envisagé toutes les valeurs entières de 4 à 9 pour xy .

Il y a peut-être un autre cheminement qui permet d'utiliser dès le départ le PGCD égal à 1. Sinon cette contrainte n'apporte rien à l'exercice. Elle ne fait qu'enlever les solutions (3,3,3) et (2,2,12).

oui la contrainte du pgcd n'est qu'une fioriture ...

l'avantage de mon écriture permet l'automatisation de la résolution par un algorithme

Si x , y et z sont des  entiers > 0 tels que pgcd(x,y,z) = 1  et 1/xy + 1/yz + 1/zx = 1/3   (donc 3(x + y + z) = xyz )  il me semble avoir montré qu'ils sont différents .

Mais je ne trouve  pas grand chose de simple dans le cas x < y < z    (à part que l'un est divisible par 3) pour termner l'exo .

bonsoir
je trouve comme  carpediem mais avec une autre methode
je suppose
donc


si l'on cherche des entiers positifs  cela impose  
on a donc finalement



donc  6 cas à étudier
par exemple :
xy=4
* x= 1 et y=4    donc       solution  (1,4,15)

*x=2 et y=2  donne  (2,2,12)  qui est à rejeter

c'est assez long

bonsoir,
je découvre  que sylvieg a eu la même idée que moi,j'avais tapé ma methode  vers 21h mais mon post a encore une fois était rejeté et je viens de recommencer  avec un autre ordinateur sans avoir vérifié s'il n'y avait pas d'autres réponses

Bonjour,
@etniopal,

@Sylvieg

Soient x , y et z entiers > 0 tels que pgcd(x,y,z) = 1  et 1/xy + 1/yz + 1/zx = 1/3   (donc 3(x + y + z) = xyz ) .
On ne peut avoir x = y = z car sinon on aurait x = y = z = 1 et 9 = 1  .
On a donc Card{ x , y , z } = 2 ou 3 .

Si  on avait  Card{ x , y , z } = 2  on aurait ( par exemple ) :  x < y = z   et aussi
pgcd(x,y) = 1 , 3(x + 2y) = xy² .   y  diviserait   donc 3x  et on aurait  y = 3 ,  3(x + 6)  = 9x  donc x = y = 3 .

_{Erreur ?}

Sylvieg : tout entier possède un nombre fini de diviseurs !!

D'accord
J'avais compris que tu pensais l'avoir montré dans ton message.
Je propose une petite modification :
Si on avait Card{ x , y , z } 2 on aurait ( par exemple ) : y = z et aussi
pgcd(x,y) = 1 , 3(x + 2y) = xy² . y diviserait donc 3x donc 3 . y = 3 ou y = 1 .
Pour y = 3 : 3(x + 6) = 9x donc x = 3 . Ne convient pas à cause de pgcd(x,y) = 1 .
Pour y = 1 : 3(x + 2) = x ; qui est sans solution dans .

J'ai répondu au message de etniopal sans avoir vu celui de carpediem .

@carpediem,
J'avais mal compris le mot "fini" : j'avais interprété par "terminé".

quand je dis que c'est fini je veux dire par là que j'ai fini mon travail de mathématicien !!

le reste c'est bon pour les bourrin ou les esclaves (en particulier les machines)


par contre je ne comprends pas votre histoire de card {x, y, z} = 2 ou 3 ... puisque je trouve (au moins) quatre solutions distinctes (avec pgcd = 1)

Oublié , dans mon copié-collé , le cas  x = y < z où on aurait :
pgcd(y ,z) = 1 , 3(2y + z) = y²z ,  z │ 6y  .
z diviserait  alors 6   et z serait 1 ou 3 ou 6 .
Chacune de ces possibilités entraîne une contradiction .

z serait 1 ou 2 ou 3 ou 6 .

@carpediem,
Oui, c'est mal écrit puisque l'écriture {x, y, z} sous entend que les 3 éléments sont distincts.
Je recommence :
Si les trois entiers x , y et z n'étaient pas distincts, on aurait ( par exemple ) : y = z et aussi
pgcd(x,y) = 1 , 3(x + 2y) = xy² . y diviserait donc 3x donc 3 . y = 3 ou y = 1 .
Pour y = 3 : 3(x + 6) = 9x donc x = 3 . Ne convient pas à cause de pgcd(x,y) = 1 .
Pour y = 1 : 3(x + 2) = x ; qui est sans solution dans .

veleda et moi avons trouvé les mêmes solutions que toi, c'est à dire 4 ; et pas une de plus.

@etniopal,
Il me semble inutile de traiter les deux cas x=y et y=z . C'est dans ce but que j'ai proposé une modification sans inégalité.

Bonjour,

Nous savons que:     , peut-on trouver une borne supérieure
et contenir ces 3  dénominateurs dans un intervalle donné?


Alain

le principe et l'expression de la moyenne harmonique permet de voir que si a "est petit" alors b ou c "est grand"

il est donc difficile de majorer de façon intéressante !!

on sait simplement que a b et c ne sont pas simultanément strictement supérieur à h ...

mais la négation de (a > h et b > h et c > h) est ...chiante !!! car avec peu d'intérêt ... (enfin un peu quand même) ...

on le voit avec ton exemple

Oui, et il y a pire avec 1/4 + 1/15 + 1/60

On peut quand même dire que le plus petit des trois produits est inférieur ou égal à 9 .

Rappel des 4 solutions avec x < y < z : (1, 4, 15) , (1, 5, 9) , (1, 6, 7) , (2, 3, 5) .

Bonjour ;

1/xy + 1/yz + 1/zx = 1/3 ==> (x + y + z)/xyz = 1/3 ==> 3(x + y + z) = xyz

donc 3 divise x ou y ou z .

Sans porter atteinte à la généralité de la solution (WLOG) , on suppose que z est multiple de 3 , donc il existe Z un nombre entier naturel tel que z = 3Z .

On a donc : 3(x + y + z) = xyz ==> 3(x + y + 3Z) = 3xyZ ==> x + y + 3Z = xyZ

==> x + y = (xy - 3)Z ==> Z = (x + y)/(xy - 3) : xy ne peut être égal à 3 car dans ce cas on aura x + y + 3Z = 3Z donc x + y = 0 ce qui est absurde car x , y et z sont supérieurs strictement à 0 .

Comme z > 0 , donc Z > 0 , donc Z >= 1

donc (x + y)/(xy - 3) >= 1 , donc x + y >= xy - 3 , donc y + 3 >= xy - x = (y - 1)x .

Cas n° 1 : y = 1 ,
donc x 3 , donc : Z = (x + 1)/(x - 3) = (x - 3 + 4)/(x - 3)
= 1 + 4/(x - 3) , donc x - 3 {1;2;4}
donc x {4;5;7} .

Si x = 4 , donc Z = 5 , donc z = 15 , donc (4;1;15) est solution de l'équation ainsi que tous ses permutations circulaires.

Si x = 5 , donc Z = 3 , donc z = 9 , donc (5;1;9) est solution de l'équation ainsi que tous ses permutations circulaires.

Si x = 7 , donc Z = 2 , donc z = 6 , donc (7;1;6) est solution de l'équation ainsi que tous ses permutations circulaires.

Cas n° 2 : y 1 , donc x =< (y + 3)/(y - 1) = (y - 1 + 4)/(y - 1)
= 1 + 4/(y - 1) , donc y - 1 {1;2;4} , donc y {2;3;5} ,
donc on a : x =< 5 ou x=< 3 ou x =< 2 ,
donc en somme on a : x =< 5 , donc x {1;2;3;4;5} .

1)Le cas x = 1 donne les triplets sus mentionnés .

2) Le cas x = 2 donne le triplet (2;2;12) qui n'est à prendre en considération , et le triplet (2;5;3) qui est solution de l'équation ainsi que tous ses permutations circulaires.

3) Le cas x = 3 donne le triplet (3;3;3) qui n'est à prendre en considération .

4) Le cas x = 4 , donne comme solution le triplet (4;1;15) qui a déjà été trouvé .

5) Le cas x = 5 , donne comme solution les deux triplets (5;1;9) et (5;2;3) qui ont déjà été trouvés .

Conclusion : les solutions de l'équation sont les triplets (1;4;15) , (1;5;9) , (1;7;6)
et (2;5;3) ainsi que tous leurs permutations circulaires .

Bonjour,

Nous pouvons écrire:   (1)
d'où   ,d'après (1) un dénominateur est ,soit xy celui-ci.
Remarque:(x,y) ou (y,x)  conduit  aux mêmes couples (x,z),(z,x) ,le produit des 3 dénominateurs est toujours un carré,les facteurs premiers sont donc présents un nombre pair de fois.

Nous avons 10 cas à considérer:
(1,4) (1,5)(1,6) (1,7) (1,8) (1,9)
(2,2) (2,3) (2,4)
(3,3)

En respectant la circularité:
pour (1,4) => (1,4) (4, u ) (u  ,1) ; u correspond à la valeur vérifiant  (1) soit 15.
. . .
pour (1,6) => (1,6) (6,  v)  (v, 1) ; v =7
pour  (3,3) => (3,3)(3, w) (w ,3) ;w=3 . . .

D'où les cinq solutions s: {1,4,15} ; {1,5,9} ; {1,6,7} ; {2,3,5} ; {3,3,3}

Alain

Bonne fin d'après midi,
Si on veut respecter "avec 1 comme plus grand diviseur commun", il faut enlever (3,3,3) .
Je me suis déjà fait tirer les oreilles pour ça
Si on ne le respecte pas, il manque (2,2,12) .

Bonsoir,


Tu as raison,j'ai omis la solution: {2,2,12}  ,il y a 6 solutions ainsi que leurs permutations circulaires,


Alain

il n'y a pas de permutations circulaires qui tienne !!!

chaque triplet (x, y, z) avec x et y et z distincts conduit à 3! = 6 triplets solutions

si x = y alors ça ne fait plus que ... solutions ...

Bonsoir,

OUI,Je n'ai pas tenu compte  de la consigne " x, y, et z avec 1 comme plus grand diviseur commun. " et ai considéré (1,5,9)  (5,1,9) ... comme une même solution.

Il n'est pas difficile à partir des 6 solutions données  de rétablir toutes les solutions demandées.


Alain