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Niveau Licence Maths 1e ann
Equation complexe
Posté par Fractal
Bonjour,
J'ai une hésitation sur la résolution d'une équation complexe, la voici :
La solution serait-elle les 3 points rouges ci-dessous ?
Merci
z = x + i.y
(x - i.y)² + 2(x² + y²) - 3 = 0
x² - y² - 2ixy + 2x² + 2y² - 3 = 0
3x² + y² - 3 + 2ixy = 0
Et donc, on a le système :
3x² + y² - 3 = 0
xy = 0
a) x = 0 --> y = +/- V3
b) y = 0 --> x = +/- 1
Les solutions sont :
z1 = -V3 * i
z2 = V3 * i
z3 = -1
z4 = 1
Sauf distraction. 
il te suffit de poser z = x+iy et d'annuler les parties réelles et imaginaires de , et tu verras bien s'il existe d'autres solutions ou pas.
Bonjour,
il me semble facile de voir que z est un réel ou un imaginaire pur.
En distinguant les deux cas on trouve quatre solutions, dont les trois points que tu donnes.
Bonjour Fractal.
As-tu essayé de résoudre algébriquement ton équation ?
Si tu poses z = a+ib alors tu obtiens un système facile de deux équations à résoudre ... et à mon avis, la solution donnée est incomplète et fausse ...
Citation :
As-tu essayé de résoudre algébriquement ton équation ?
As-tu essayé de résoudre algébriquement ton équation ?
Oui
Citation :
z = a+ib alors tu obtiens un système facile de deux équations à résoudre
z = a+ib alors tu obtiens un système facile de deux équations à résoudre
C'est ce que j'ai fait.
z1 = -V3 * i <== je ne comprends pas cette solution
z2 = V3 * i
z3 = -1
z4 = 1
Celles en bleu je les avais trouvées (ce sont mes point rouges sur la figure)
salut
en notant z* le conjugué de z ...
or z + z* = 2Re z donc son carré est un réel positif donc (z* + z)^2 - 3 est un réel
donc z est réel ou z est imaginaire pur
si z est réel l'équation est 3z^2 - 3 = 0
si z est imaginaire pur l'équation est z^2 + 3 = 0
...
bonjour,
il est immédiat que si z est solution -z est solution
puisque
on peut aussi écrire
soit
on en déduit
donc
et z est réel solution de
ou
et z est imaginaire pur solution de
Bonsoir,
Solution OFF:
En termes de somme de points du plan orthonormé
la relation correspond à : (1)
-2xy= 0 ; x=0 , ,
;y=0 , ,
La relation (1) ,pour xy=0 conduit à pour la courbe support.
Alain