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Équation complexe

Posté par
Ramanujan 26-02-19 à 13:14

Bonjour,

Soit n \in \N^*
Résoudre dans \C l'équation : (z+1)^n=(1-z)^n

En remarquant que 1 n'est pas solution, je trouve en utilisant les racines n-ièmes de l'unité :

z_k = i \tan(\dfrac{k \pi}{n}) avec k \in [|1,n-1|] (le cas n=0 est exclu car 1 n'est pas solution)

Mais je comprends pas la remarque de mon livre :

Si n est impair alors on a n racines.

Si n est pair alors on a n-1 racines.

Posté par
lionel52re : Équation complexe 26-02-19 à 13:26

Hello !

Tu exclus k = 0 ok mais est ce que tan(0) = 1 ?

Posté par
Ramanujanre : Équation complexe 26-02-19 à 13:33

Ah en effet erreur d'étourderie on garde : k \in [|0,n-1|]

Mais je comprends pas ce que viens faire la parité ici

Posté par
lionel52re : Équation complexe 26-02-19 à 13:46

Est-ce que tan(kpi/n) est toujours défini?

Posté par
Ramanujanre : Équation complexe 26-02-19 à 14:12

Non, il faut que \dfrac{k \pi}{n} \not \equiv \dfrac{\pi}{2} [\pi]

Mais je vois pas trop après.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation complexe 26-02-19 à 14:19

Bonjour,
Si k = 0, 1, ...,n-1 alors k/n ne va pas souvent ni être négatif, ni dépasser .
Cherche quand k/n = /2 .

Posté par
Ramanujanre : Équation complexe 26-02-19 à 14:38

Alors : \dfrac{k \pi}{n} = \dfrac{\pi}{2} + q \pi avec q \in \Z

Ce qui donne : k= \dfrac{n}{2} + q

Si n est pair alors k est entier sinon n n'est pas un entier.

Mais du coup je vois pas le lien avec les n racines si n impair et les n-1 racines si n pair

Posté par
lionel52re : Équation complexe 26-02-19 à 14:49

Le q tu peux t'en débarrasser car kpi/n est compris entre 0 et pi ...
Si kpi/n vaut pi/2 tu peux pas t'en servir donc tu vires une solution

Posté par
Ramanujanre : Équation complexe 26-02-19 à 15:57

0 \leq k \leq n-1

Donc : 0 \leq k \pi \leq (n-1) \pi

Soit 0 \leq \dfrac{k \pi}{n} \leq \pi - \dfrac{\pi}{n} < \pi

On a montré : \dfrac{k \pi}{n} \in [0,\pi[

Par ailleurs : \dfrac{k \pi}{n} = \dfrac{\pi}{2} donne : n=2k

Donc on exclut la solution qui correspond à  : k =  \dfrac{n}{2} avec k entier que si n est pair.

Posté par
Ramanujanre : Équation complexe 26-02-19 à 16:41

Dans le même style d'exo, je comprends pas la remarque suivante :

Il est  normal de trouver n-1 racines à l'équation (\dfrac{z+1}{z-1})^n=1 car l'équation donnée est de degré n-1

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation complexe 26-02-19 à 17:28

L'équation donnée n'a pas de degré.
Par contre, l'équation (z+1)n = (z-1)n a le même nombre de solutions que (\dfrac{z+1}{z-1})^n=1 .
En effet 1 n'est pas solution de (z+1)n = (z-1)n .

Je reviens à (z+1)n = (1-z)n qui est équivalent à (z+1)n-(1-z)n = 0 :
Selon que n est pair ou non le degré sera ...

Posté par
carpediemre : Équation complexe 26-02-19 à 18:08

salut

posons w = e^{i \frac {2\pi} n}  alors w^n = 1

donc (z + 1)^n = (1 - z)^n \iff (z + 1)^n(w^k)^n = (1 - z)^n \iff (z + 1)w^k = 1 - z avec k \in [[0, n - 1]]

...

Posté par
Ramanujanre : Équation complexe 26-02-19 à 19:01

@Carpediem pas compris le rapport avec la question et votre calcul.

@Sylvieg

En développant avec la formule du binôme de Newton j'obtiens :

(z+1)^n - (1-z)^n = \sum_{k=0}^n (1+(-1)^{k+1})z^k

Si n est pair alors le coefficient devant z^n est nul donc le degré est égal à n-1

Par contre j'ai une question : tout polynôme de degré n-1 admet n-1 racines dans \C ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation complexe 26-02-19 à 19:15

Il ne manque pas quelques coefficients binomiaux ?

Pour l'histoire du nombre de racines, il faut se méfier des racines multiples.
Dans , un polynôme de degré n est factorisable en un produit de n polynômes de degré 1.

Posté par
Ramanujanre : Équation complexe 26-02-19 à 19:31

Oui en effet je corrige :

\sum_{k=0}^n  \binom{n}{k} (1+(-1)^{k+1})z^k

Ah d'accord ça peut être une racine multiple je me disait bien car une équation du second degré dans \C peut admettre qu'une seule racine si son discriminant est nul.

L'auteur a peut être compter les multiplicités des racines.


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