Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup Analyse complexeTopics traitant de analyse complexe [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Équation complexe

Posté par
Ramanujan 26-02-19 à 13:14

Bonjour,

Soit n \in \N^*
Résoudre dans \C l'équation : (z+1)^n=(1-z)^n

En remarquant que 1 n'est pas solution, je trouve en utilisant les racines n-ièmes de l'unité :

z_k = i \tan(\dfrac{k \pi}{n}) avec k \in [|1,n-1|] (le cas n=0 est exclu car 1 n'est pas solution)

Mais je comprends pas la remarque de mon livre :

Si n est impair alors on a n racines.

Si n est pair alors on a n-1 racines.

Posté par
lionel52re : Équation complexe 26-02-19 à 13:26

Hello !

Tu exclus k = 0 ok mais est ce que tan(0) = 1 ?

Posté par
Ramanujanre : Équation complexe 26-02-19 à 13:33

Ah en effet erreur d'étourderie on garde : k \in [|0,n-1|]

Mais je comprends pas ce que viens faire la parité ici

Posté par
lionel52re : Équation complexe 26-02-19 à 13:46

Est-ce que tan(kpi/n) est toujours défini?

Posté par
Ramanujanre : Équation complexe 26-02-19 à 14:12

Non, il faut que \dfrac{k \pi}{n} \not \equiv \dfrac{\pi}{2} [\pi]

Mais je vois pas trop après.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation complexe 26-02-19 à 14:19

Bonjour,
Si k = 0, 1, ...,n-1 alors k/n ne va pas souvent ni être négatif, ni dépasser .
Cherche quand k/n = /2 .

Posté par
Ramanujanre : Équation complexe 26-02-19 à 14:38

Alors : \dfrac{k \pi}{n} = \dfrac{\pi}{2} + q \pi avec q \in \Z

Ce qui donne : k= \dfrac{n}{2} + q

Si n est pair alors k est entier sinon n n'est pas un entier.

Mais du coup je vois pas le lien avec les n racines si n impair et les n-1 racines si n pair

Posté par
lionel52re : Équation complexe 26-02-19 à 14:49

Le q tu peux t'en débarrasser car kpi/n est compris entre 0 et pi ...
Si kpi/n vaut pi/2 tu peux pas t'en servir donc tu vires une solution

Posté par
Ramanujanre : Équation complexe 26-02-19 à 15:57

0 \leq k \leq n-1

Donc : 0 \leq k \pi \leq (n-1) \pi

Soit 0 \leq \dfrac{k \pi}{n} \leq \pi - \dfrac{\pi}{n} < \pi

On a montré : \dfrac{k \pi}{n} \in [0,\pi[

Par ailleurs : \dfrac{k \pi}{n} = \dfrac{\pi}{2} donne : n=2k

Donc on exclut la solution qui correspond à  : k =  \dfrac{n}{2} avec k entier que si n est pair.

Posté par
Ramanujanre : Équation complexe 26-02-19 à 16:41

Dans le même style d'exo, je comprends pas la remarque suivante :

Il est  normal de trouver n-1 racines à l'équation (\dfrac{z+1}{z-1})^n=1 car l'équation donnée est de degré n-1

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation complexe 26-02-19 à 17:28

L'équation donnée n'a pas de degré.
Par contre, l'équation (z+1)n = (z-1)n a le même nombre de solutions que (\dfrac{z+1}{z-1})^n=1 .
En effet 1 n'est pas solution de (z+1)n = (z-1)n .

Je reviens à (z+1)n = (1-z)n qui est équivalent à (z+1)n-(1-z)n = 0 :
Selon que n est pair ou non le degré sera ...

Posté par
carpediemre : Équation complexe 26-02-19 à 18:08

salut

posons w = e^{i \frac {2\pi} n}  alors w^n = 1

donc (z + 1)^n = (1 - z)^n \iff (z + 1)^n(w^k)^n = (1 - z)^n \iff (z + 1)w^k = 1 - z avec k \in [[0, n - 1]]

...

Posté par
Ramanujanre : Équation complexe 26-02-19 à 19:01

@Carpediem pas compris le rapport avec la question et votre calcul.

@Sylvieg

En développant avec la formule du binôme de Newton j'obtiens :

(z+1)^n - (1-z)^n = \sum_{k=0}^n (1+(-1)^{k+1})z^k

Si n est pair alors le coefficient devant z^n est nul donc le degré est égal à n-1

Par contre j'ai une question : tout polynôme de degré n-1 admet n-1 racines dans \C ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équation complexe 26-02-19 à 19:15

Il ne manque pas quelques coefficients binomiaux ?

Pour l'histoire du nombre de racines, il faut se méfier des racines multiples.
Dans , un polynôme de degré n est factorisable en un produit de n polynômes de degré 1.

Posté par
Ramanujanre : Équation complexe 26-02-19 à 19:31

Oui en effet je corrige :

\sum_{k=0}^n  \binom{n}{k} (1+(-1)^{k+1})z^k

Ah d'accord ça peut être une racine multiple je me disait bien car une équation du second degré dans \C peut admettre qu'une seule racine si son discriminant est nul.

L'auteur a peut être compter les multiplicités des racines.


Rechercher
Menu
Espace membre
27 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1720 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !