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Niveau Maths sup
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Equation de genre: La tour de la puissance

Posté par
Eric_
28-02-08 à 20:40

Salut

Comment résoudre les éqautions de genre (La tour de la puissance) dans \mathbb{R} ?
x^{x^{x^{x^{...}}}}=a \hspace{30} a\in\mathbb{R}
Par exemple:
x^{x^{x^{x^{...}}}}=2

Merci d'avance

Posté par
Fractal
re : Equation de genre: La tour de la puissance 28-02-08 à 22:17

Bonjour

Que signifie ta tour de puissances?
Est-elle infinie? Est-elle d'une certaine hauteur fixée à l'avance?

Fractal

Posté par
JJa
re : Equation de genre: La tour de la puissance 28-02-08 à 22:21

http://mathworld.wolfram.com/PowerTower.html

Posté par
Eric_
re : Equation de genre: La tour de la puissance 29-02-08 à 15:05

J'ai déja trouvé ce lien.
Je voudrais seulement démontrer que l'équation admet (au moins) une solution réele.
Merci encore.

Posté par
Fractal
re : Equation de genre: La tour de la puissance 29-02-08 à 15:21

Prends le log des deux côtés.
Si on appelle h(x) la tour infinie, alors on obtient ln(h(x)) = h(x) * ln(x), d'où 3$x=e^{\frac{ln(a)}{a}}.
Il faut encore éventuellement vérifier que cette valeur de x appartient bien au domaine de définition de h.

Fractal

Posté par
Fractal
re : Equation de genre: La tour de la puissance 29-02-08 à 17:49

... ce qui se réécrit plus simplement 3$x=a^{\fr1a}.

Fractal

Posté par
JJa
re : Equation de genre: La tour de la puissance 29-02-08 à 18:48

Oui, Fractal, on est bien d'accord et c'est pourquoi j'avais indiqué à Eric_ le lien où cette équation était donnée (ainsi que sa résolution formelle par la fonction W de Lambert).
Il suffit d'ailleurs d'étudier cette fonction pour répondre à la question sur l'existence de solution.

Posté par
Eric_
re : Equation de genre: La tour de la puissance 01-03-08 à 21:37

Merci

Je me demande s'il y a des conditions sur a afin que l'équation admet des solutions.



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