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Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'ordre 21 30-01-17 à 10:36

Tu fais un seul tableau qui distingue trois cas selon le signe de x0-2y0.

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 30-01-17 à 11:30

jsvdb @ 30-01-2017 à 10:36

Tu fais un seul tableau qui distingue trois cas selon le signe de x0-2y0.

Ce modèle de tableau de variations te semble-t-il bien adapté ?

\begin{array} {|c|cccccc||} t & -\infty & & 4 & & +\infty & \\ { x'(t) : x0-2y0 < 0} & & + & 0 & + & & \\ {x(t)} & & \nearrow & & \searrow & & \\ {x'(t): x0-2y0 = 0} & & + & 0 & + & & \\ {x(t) } & & \nearrow & & \searrow & & \\ {x'(t): x0-2y0 > 0} & & + & 0 & + & & \\ {x(t)} & & \nearrow & & \searrow & & \\ {y'(t): x0-2y0 < 0} & & + & 0 & + & & \\ {y(t)} & & \nearrow & & \searrow & & \\ {y'(t): x0-2y0 = 0} & & + & 0 & + & & \\ {y(t)} & & \nearrow & & \searrow & & \\ {y'(t): x0-2y0 > 0} & & + & 0 & + & & \\ {y(t)} & & \nearrow & & \searrow & & \end{array}

Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'ordre 21 30-01-17 à 11:57

ce tableau est faux car y et x sont de variation constante.

Tu fais une première ligne avec x_0 - 2y_0 = 0 et la variation de x.
Tu fais une seconde   ligne avec x_0 - 2y_0 > 0 et la variation de x.
Tu fais une troisième ligne avec x_0 - 2y_0 < 0 et la variation de x.
Tu fais une quatrième ligne avec la variation de y.

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 30-01-17 à 13:29

En suivant tes instructions:
Ce modèle de tableau de variations te semble-t-il bien adapté maintenant ?

\begin{array} {|c|cccccc||} t & -\infty & & 0 & & +\infty &  \\ x0 - 2y0 = 0 : {x(t)} & & \nearrow & & \searrow & &  \\ x0 - 2y0 > 0 : {x(t) } & & \nearrow & & \searrow & &  \\ x0 - 2y0 < 0 : {x(t)} & & \nearrow & & \searrow & &  \\ {y(t)} & & \nearrow & & \searrow & & \\ & & \end{array}

Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'ordre 21 30-01-17 à 13:52

dans l'idée, oui, c'est ça ... à la bonne monotonie des fonctions près ...

Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'ordre 21 30-01-17 à 13:53

Enfin, n'oublie pas la ligne avec les x' et le y'

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 30-01-17 à 14:30

Après les changements indispensables:

\begin{array} {|c|cccccc||} t & -\infty & & 0 & & +\infty & \\ \\ x0 - 2y0 = 0 : {x(t)} & & \nearrow & & \searrow & &  \\ x0 - 2y0 > 0 : {x(t) } & & \nearrow & & \searrow & &  \\ x0 - 2y0 < 0 : {x(t)} & & \nearrow & & \searrow & &  \\ {y(t)} & & \nearrow & & \searrow & & \\ & & \end{array}

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 30-01-17 à 14:48

Après les changements indispensables:

\begin{array} {|c|cccccc||} t & -\infty &  & +\infty & \\ \\ x0 - 2y0 = 0 : {x'(t)} &               0 \\ \\ x0 - 2y0 = 0 : {x(t)} &  \ \\ \\ x0 - 2y0 > 0 : {x'(t) } &              + \\ \\ x0 - 2y0 > 0 : {x(t) } & \nearrow & \nearrow & & \\ \\ x0 - 2y0 < 0 : {x'(t)} &                -   \\ \\ x0 - 2y0 < 0 : {x(t)} &  \searrow & \searrow & & \\ \ {y't)} & \+ & &\+ & \\ \\ {y(t)} &  \nearrow &  \nearrow && \\ \\ & & \end{array}

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 30-01-17 à 14:57

Après les ultimes changements indispensables:  

\begin{array} {|c|cccccc||} t & -\infty &  & +\infty & \\ \\ \\ x0 - 2y0 = 0 : {x'(t)} &               0 \\ \\  \\ x0 - 2y0 = 0 : {x(t)} &  \rightarrow & \rightarrow \\ \\ \\ x0 - 2y0 > 0 : {x'(t) } &              + \\ \\  \\ x0 - 2y0 > 0 : {x(t) } & \nearrow & \nearrow & & \\ \\ \\ x0 - 2y0 < 0 : {x'(t)} &                -   \\ \\ \\ x0 - 2y0 < 0 : {x(t)} &  \searrow & \searrow & & \\ \\ \ {y't)} & + & &+ & \\ \\ \\ {y(t)} &  \nearrow &  \nearrow && \\ \\ \\ & & \end{array}

Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'ordre 21 30-01-17 à 15:31

Nous y sommes ...

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 30-01-17 à 16:22

En complétant pour l'étude des branches infinies:  

\begin{array} {|c|cccccc||} t & -\infty & 0 & +\infty & \\ \\  \\ \\ x0 - 2y0 = 0 : {x'(t)} &               0 \\ \\  \\  \\ x0 - 2y0 = 0 : {x(t)} &x0  \rightarrow &x0  \rightarrow &x0 \\ \\  \\ \\ x0 - 2y0 > 0 : {x'(t) } &              + \\ \\  \\  \\ x0 - 2y0 > 0 : {x(t) } &0 \nearrow &x0 & \nearrow & +\infty& \\ \\  \\ \\ x0 - 2y0 < 0 : {x'(t)} &                -   \\ \\  \\ \\ x0 - 2y0 < 0 : {x(t)} &0  \searrow & x0 &\searrow &-\infty & \\ \\  \\ \ {y't)} & + & &+ & \\ \\  \\ \\ {y(t)} &0  \nearrow & y0 & \nearrow &+\infty& \\ \\  \\ \\ & & \end{array}

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 31-01-17 à 10:22

Bonjour,

J'apporte deux corrections pour x(t)

  

\begin{array} {|c|cccccc||} t & -\infty & 0 & +\infty & \\ \\  \\  \\ \\ x0 - 2y0 = 0 : {x'(t)} &               0 \\ \\  \\  \\  \\ x0 - 2y0 = 0 : {x(t)} &x0  \rightarrow &x0  \rightarrow &x0 \\ \\  \\  \\ \\ x0 - 2y0 > 0 : {x'(t) } &              + \\ \\  \\  \\  \\ x0 - 2y0 > 0 : {x(t) } &0 \nearrow &x0 - 2 y0 & \nearrow & +\infty& \\ \\  \\  \\ \\ x0 - 2y0 < 0 : {x'(t)} &                -   \\ \\  \\  \\ \\ x0 - 2y0 < 0 : {x(t)} &0  \searrow & x0 - 2 y0 &\searrow &-\infty & \\ \\  \\  \\ \ {y't)} & + & &+ & \\ \\  \\  \\ \\ {y(t)} &0  \nearrow & y0 & \nearrow &+\infty& \\ \\  \\  \\ \\ & & \end{array}

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 31-01-17 à 21:11

Bonsoir jsvdb,

Merci de me dire si le dernier tableau de variations est juste.

Si c'est le cas, j'ai tracé les courbes correspondantes sur le papier et il me restera une question à faire (question 6) pour compléter cet exercice.

Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'ordre 21 31-01-17 à 22:14

Ça me paraît cohérent ...

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 01-02-17 à 14:44

Bonjour jsvdb,

Ma réponse a la question 6 est:

Comme   P ^-^1\begin{pmatrix} u_{0}\\u_{1} \end{pmatrix}  =  \begin{pmatrix} x_{0}\\y_{0} \end{pmatrix}, on a :

\begin{pmatrix} u_{0}\\u_{1} \end{pmatrix}  =   P \begin{pmatrix} x_{0}\\y_{0} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &1 \\ 2 &0 \end{pmatrix}    \begin{pmatrix} x_{0}\\y_{0} \end{pmatrix}  =  \begin{pmatrix} x_{0} + y_{0} \\2x_{0} \end{pmatrix}.

Dans le cas  où  x0 - 2 y0 > 0, on en déduit que la courbe paramétrée  admet au point d'abscisse (x0 + y0) une tangente oblique de coefficient directeur égal à 2x0.

Ceci semble-il juste ou au moins cohérent ?

Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'ordre 21 01-02-17 à 15:35

On avait supposé, je crois, x_0 > 0.
Donc, qu'importe le signe de x_0 - 2y_0.
Il y aura une tangente oblique dirigée vers la droite.

Posté par
scoatarinre : Equation différentielle d'ordre 21 01-02-17 à 15:52

jsvdb @ 01-02-2017 à 15:35

On avait supposé, je crois, x_0 > 0.
Donc, qu'importe le signe de x_0 - 2y_0.
Il y aura une tangente oblique dirigée vers la droite.


L'énoncé impose x_0 > 0, donc tout va bien.

Cet exercice est enfin terminé.

Je vous remercie vivement tous et plus particulièrement jsvdb que j'ai énormément
sollicité.

Bonne journée à tous      

Posté par
jsvdbre : Equation différentielle d'ordre 21 01-02-17 à 16:14

scoatarin @ 01-02-2017 à 15:52

Cet exercice est enfin terminé.

Dans ce cas, à la tienne

Equation différentielle d\'ordre 21

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