Salut kevin

Hum je ne sais pas s'il y a réellement une méthode.

Lorsque n=2 c'est une équation de Riccati. Pour n quelconque (même réel) on pourrait croire à une équation de Bernoulli mais on a le problème de la constante g...

Salut Jord

Oui je me suis renseigné sur les équations de Riccati, et effectivement ça marche pour n=2 mais ça c'est déjà fait .

Par contre Bernouilli je ne connais pas. Donc d'après toi pas de méthodes ? Même avec une solution particulière ?

On se ramène aisément au calcul de l'intégrale :
Int[dv/(a-v^n)] dont la solution est :

v*Lerchphi(v^n/a,1,1/n)/(a*n)

La fonction Lerchphi est définie par la somme :
LerchPhi(z,1,1/n):=sigma(m=0..infini)z^m/(1/n+m)...
cette fonction LerchPhi est la solution v(z) de l'équation différentielle ordinaire :
dv/dz=1/[z(1-z)]-v/(nz)

Je pense que la solution doit être reliée à une fonction hypergéométrique particulière...

Bonjour serapion

Pouvez-vous être plus explicite, je ne connais pas cette fonction.

Comment est-ce qu'on se ramène à cette intégrale ? Et la solution ?

Merci

Pour l'intégrale c'est bon j'ai compris

Up

Là encore, il n'est pas nécessaire d'aller chercher les ED de Ricatti ou ce Bernouilli, puisque c'est une simple intégrale.
Le résultat est valable pour les puissances non entières (j'ai noté "nu" au lieu de "n" pour qu'on le voie bien) :

Bonsoir JJa

Merci pour ta réponse mais j'ai absolument rien compris ()

Pourrais-tu donner plus de détails dans les calculs ?

Ensuite ?

Dans l'intégrale, remplace V par la fonction de theta que j'ai définie : c'est tout simple si tu sais faire un changement de variable dans une intégrale (n'oublie pas de calculer le dV en dérivant)

Merci j'ai compris

Tu peux m'en dire plus sur cette fonction Beta incomplète ?

Mon but était d'avoir une formule qui me donne la vitesse V à tout instant t.

Pourquoi est-ce que cela ne fonctionne pas pour un n entier ?

Merci

Je me suis renseigné sur cette fameuse fonction .

Peut-on exprimer V plus simplement à partir de cela ?

On trouve des tables numériques et les propriétés de la fonction Beta incomplète dans les handbooks de maths. Par exemple :
http://mathworld.wolfram.com/IncompleteBetaFunction.html
Le résultat formulé avec cette fonction est tout aussi valable pour nu = n = entier.
Dans le cas de n entier, on peut l'exprimer avec une somme de fonctions usuelles (logarithme et fonctions circulaires inverses), mais il faut le faire successivement pour chaque valeur de n, ce qui donne des formules de plus en plus compliquées. Au contraire, la fonction Beta est une forme générale qui est valable quel que soit n, même non entier.
Les logiciels de calcul donnent les valeurs numériques de la fonction beta incomplère de la même façon qu'ils donnent les valeurs numériques des fonctions usuelles.

Merci beaucoup JJa !

Maintenant si on prend un exemple "simple" avec g=10, k=0,33, m=3 et n=3 comment est-ce que je calcule la vitesse de l'objet à l'instant t=10s ?

Mon problème c'est que je ne vois pas comment utiliser la formule

Il y a une coquille dans l'écriture précédente. Correction :

Je ne connais pas non plus la fonction polylogarythme ln(a). C'est nécessaire pour appliquer la formule ?

Il manque une donnée pour pouvoir faire le calcul.
L'équation différentielle ne suffit pas, il faut une condition initiale (ou une autre condition) pour pouvoir déterminer la constante qui apparait à l'intégration.
Maintenant je dois quitter le forum et je ne reviendrai que demain.

Et si j'impose la condition à c'est bon ?

Merci pour tout, bonne soirée et à demain

Je vois ta nouvelle question juste avant de partir.
Non, ce n'est pas nécessaire de connaitre toutes ces fonctions spéciales. On peut faire le calcul en utilisant seulement l'une d'elle, celle que l'on veut. On peut même s'en passer complètement, car pour du calcul numérique, il est tout aussi facile de faire une intégration par calcul numérique directement avec l'intégrale du début. C'est ce que l'on fait normalement en pratique. Les fonctions spéciales sont plutôt du domaine théorique (ou parfois lorsque l'on traite un problème du genre "cas d'école", ou lorsque l'on veut "faire savant". Mais de toute façon, en application pratique, cela fini par du calcul numérique, que ce soit avec une fonction spéciale ou directement avec une intégrale).

D'accord donc si je comprends bien, il n'y a pas de formule explicite donnant la valeur de v en fonction de t ? Il faut à chaque fois ou faire un calcul d'intégrale ou appliquer une méthode itérative ?

Merci, bonne soirée

Up

bonjour infophile
Le prof que j'avais en spé nous racontait que pour bien des équadiff, un matheux pouvait travailler dix ans pour annoncer ensuite au physicien qui lui avait demandé de la résoudre : "Génial, je viens de prouver que ton équation a une solution unique avec certaines conditions initiales "....
après, pour obtenir la dite solution, c'est une autre paire de manches ....

Bonsoir lafol

J'attends de voir ça

Up

Bonjour infophile,

il me semble que tu as fait remonter cette question.
N'aurais tu pas bien bien compris que la réponse t'a déjà été donnée ? Qu'espères-tu donc de plus ?
Il est bien évident que si tu veux avoir V en fonction de t, il faut utiliser la fonction inverse. C'est exactement pareil que, par exemple, lorsque tu connais une valeur (y) et que tu veux calculer x tel que y=ch(x), tu utilises la fonction argch(y), c'est à dire la fonction inverse (ou réciproque)de ch(x).
J'en profite pour signaler une faute de recopie dans une formule de mon post 28/02/2007 à 16:30. Un n a été oublié au numérateur. La formule corrigée est jointe, ainsi que celle donnant V(t) qui s'en déduisait bien évidemment.
Avec l'exemple numérique joint, tu comprendras certainement comment faire un calcul comcret.
Pour cela, tu as besoin de la fonction Argument Beta. Elle n'est pas sur n'importe quelle calculatrice. Il faut posséder un logiciel approprié sur ordinateur. Si non, il faudrait la programmer soi-même. Mais dans ce cas, comme je te l'ai déjà dis, il est plus simple de programmer l'intégration numérique de l'intégrale du départ sans se compliquer la vie en passant par une fonction spéciale.
Pour l'exemple que tu demandais (ton post du 28/02/2007 à 17:32), c'est encore plus immédiat car avec t=10, la valeur de la fonction Beta est très élevée = 67 environ (calculé avec la formule indiquée) donc ArgBeta est extrèmement proche de 1 et V sera très voisin de (10*3/0,33)^(1/3)=4,496443 environ. Ton exemple ne demandait pas de calcul compliqué et est plus simple que celui que je donne en page jointe.
Je répète aussi que lorsque l'exposant (n) est entier, par exemple n=3, il est possible d'écrire une formule V(t) avec des combinaisons de fonctions usuelles. Mais (sauf dans le cas le plus simple n=2) cela ne t'avancerait pas car le calcul de l'inverse de ces combinaisons de fonctions serait tout aussi compliqué, voire plus, que l'inverse de la fonction Beta.

Bonjour,

Je me permets de relancer le sujet, car malheureusement quelques zones d'ombres subsistent (pardonnez moi, depuis la prépa, mon niveau de math à bien chuté et de nombreux théorèmes m'échappent).

Je cherche à résoudre la même équation que l'auteur du sujet, j'ai suivi la méthode de resolution par intégration. Seulement quelque détails m'ennuient, en effet j'ai appris les fonction Beta incomplete sur ce forum et malheureusement je ne trouve pas de site expication très bien fait sur ces fonctions.

Voilà mon problème:

En reprenant le raisonement exprimé dans le poste précédent j'ai intégré mon équation avec comme condition initiale :

t0=0  teta0=10^11   n=2,  

et j'obtien donc l'équation (1) avec (2), et enfin l'équation (3). En posant beta definit par (4), je veux calculer la fonction Beta inverse de l'expression de beta(t) et obtenir ainsi teta.

Questions :
1) Commetn calculer B(teta0,1/2,0) sachant que teta0 = 10^11. N y'a a t'il pas des problemes de continuité?

2) Je travaille avec Mathematica, et je ne trouve pas la fonction beta incomplete inverse (il semble juste exister la fonction beta régularisé inverse). Commen calculer dans ce cas mon ArgBeta équation (5)


Merci infiniment de votre aide!