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Niveau Licence Maths 1e ann
Équation diophantienne non linéaire
Posté par kangarsta
Bonjour,
Je souhaite résoudre dans Z^3;
5x^3 + 11y^3 + 13z^3 = 13
J?ai déjà montré
5x^3 + 11y^3 + 13z^3 = 0 <=> x=y=z=0
Je sais aussi que si z,y,z est solution alors 13 divise x et y donc 13^2 divise z^3-1=(z-1)(z^2 + z + 1)
De plus avec un tableau de congruence je montre que soit z congru à 1 modulo 13 et 13|z-1 (et 13^2 aussi) et 13 ne divise pas l?autre facteur, soit z congru à 3 ou 9 modulo 13 et 13 ne divise pas z-1 mais 13|z^2 + z + 1 (et 13^2 aussi).
Dans le cas où z congru à 1 modulo 13 j?ai montré que nécessairement z = 1 en écrivant z=13k+1 et en calculant z^3-1 non divisible par 13^2 si z=\=1.
Dans les deux autres cas, rien de concluant.
Avez vous la moindre indication svp ?
Merci
* modération > le niveau a été modifié en fonction du profil renseigné *
Bonsoir,
en fait ce que tu obtiens c'est que :
.
Ensuite on peut regarder les cubes modulo 13.
Il y a une liste à faire mais elle n'est pas trop longue.
Bonsoir,
C'est bien ce que je fais.
J'obtiens z congru à 1 3 ou 9
Et soit z congru à 1 alors 13 divise z-1 et 13'e divise pas z^2 + z + 1 puis je montre z+1.
Soit z congru à 3 ou 9 alors 13 ne divise pas z-1 mais 13 divise z^2 + z + 1.
Mais après ? Je ne trouve rien de probant, même en sachant que 13^2 divise l'expression.
Bonjour,
Je ne comprends pas ceci :
Citation :
Dans le cas où z congru à 1 modulo 13 j'ai montré que nécessairement z = 1 en écrivant z=13k+1 et en calculant z^3-1 non divisible par 13^2 si z=\=1.
Et si z = 170 ?
Dans le cas où z congru à 1 modulo 13 j'ai montré que nécessairement z = 1 en écrivant z=13k+1 et en calculant z^3-1 non divisible par 13^2 si z=\=1.
Mais ta phrase est peut-être mal formulée.
Bonjour,
Effectivement j'ai fait une erreur de raisonnement. z = 1 n'est pas l'unique solution qui vérifie 13^2 divise z^3 -1 quand z congru à 1 modulo 13.
Ça pose problème, je n'ai absolument aucune autre idée.
Il s'agit d'un exercice ou d'une question que tu as inventée ?
S'il s'agit d'un exercice, peux-tu poster l'énoncé complet ?
J'ai pensé au théorème des restes chinois mais je ne sais pas comment l'appliquer.
En fait z=1 est l'unique solution modulo 13^2.
Z^3-1 n'étant pas un cube dans le cas général on ne peut pas appliquer l'équation homogène.
Le petit théorème de fermât semble bien inutile, une relation de bezout aussi.
Les modulos ne donnent rien d'absurde.
Dans le cas homogène, on montre que 13 divise indéfiniment x,y,z donc que les solutions sont triviales. Ici, on bloque à la première itération.
Peut être une astuce toute bête (changement de variable bien choisi??) mais je ne vois pas.
Sylvieg @ 31-07-2021 à 13:27
Il s'agit d'un exercice ou d'une question que tu as inventée ?
S'il s'agit d'un exercice, peux-tu poster l'énoncé complet ?
Il s'agit d'un exercice ou d'une question que tu as inventée ?
S'il s'agit d'un exercice, peux-tu poster l'énoncé complet ?
L'exercice a été « inventé » par mon professeur (j'imagine, car je ne trouve rien sur internet)
1. Soient x,y,z∈Z tels que 5x3+11y3+13z3 =0. Montrer que 13 divise x,y,z.
2. Quelles sont les solutions dans Z3 de 5x3+11y3+13z3 =0. et de 5x3+11y3+13z3 =13?
Bonsoir,
Citation :
En fait z=1 est l'unique solution modulo 13^2.
Avec x = 13a, y = 13b et z3 = 1 + 132c, on se ramène à
En fait z=1 est l'unique solution modulo 13^2.
5a3 + 11b3 + c3 = 0.
Est-ce utile ?
Bonjour,
Un grand merci pour cette idée, je n'avais pas envisagé une seule seconde de faire apparaître 13 d'un coté et 13^2 de l'autre.
Cependant z^3 = 1 + 13^2*c ne fait pas apparaître c^3 si je ne m'abuse ?
Effectivement on conclue directement si on arrive à remplacer 13(z^3-1) par un cube multiplié par un facteur premier avec 5 et 11.
En fait, je soupçonne l'équation d'être un peu plus compliquée qu'elle n'en a l'air. Ou de nécessiter une astuce très très précise.
PS : les modulos 5 et 11 ne donnent aucune information de plus sur l'équation de base
Ne me remercie pas pour mon idée qui ne mène sans doute à rien 
Tu as raison, pas de cube pour c.
On se ramène à
5a3 + 11b3 + c = 0.
sans cube ça me semble impossible de conclure. Ou alors des études de cas particuliers à rallonge et des pages de disjonction de cas.
Je pense que cette équation est trop tordu pour être qualifié de « solvable ».
Quand j'aurai la correction, je la posterai ici.
Bon, j'ai eu un peu de temps pour m'y repencher.
Rien de plus, sauf que je ne suis pas d'accord avec
Citation :
En fait z=1 est l'unique solution modulo 13^2.
Je trouve aussi 22 et -23.En fait z=1 est l'unique solution modulo 13^2.
Sylvieg @ 07-08-2021 à 09:40
Bon, j'ai eu un peu de temps pour m'y repencher.
Rien de plus, sauf que je ne suis pas d'accord avec
Bon, j'ai eu un peu de temps pour m'y repencher.
Rien de plus, sauf que je ne suis pas d'accord avec
Citation :
En fait z=1 est l'unique solution modulo 13^2.
Je trouve aussi 22 et -23.En fait z=1 est l'unique solution modulo 13^2.
je dis effectivement beaucoup de bêtises.
Si tout se passe bien, j'ai la correction demain soir
salut
on attend toujours ...
PS : et j'aimerai bien voir la preuve que 13 divise x, y et z (question 1/) ... sauf si c'est un raisonnement pas disjonction de cas ...
Bonjour,
Toutes mes excuses, j'avais mal lu les dates et la correction a eu lieu le 18. Je suis parti en vacances depuis, donc je n'ai pas pensé du tout à vous faire parvenir la correction.
Voici ce que mon prof m'a répondu.
Pour carpediem, c'est une disjonction de cas sur les modulos (et pour être plus rigoureux, l'ordre de 11x^3 et 5y^3 dans Z/13Z).
ouais ... tout comme Sylvieg !!
ok pour 13 divise x et y éventuellement (par disjonction de cas en travaillant modulo 13) mais je ne vois pas pourquoi 13 divise z ensuite (enfin sauf si on considère l'éqaution ... = 0)
quant à la suite de la démo ben je ne vois rien !!
Sylvieg ; je cuisinerai mon prof à la rentrée . Pour le moment je prépare la rentrée.
Carpediem : si vous parlez de l'équation homogène en fait 13 divise x et y (comme vous l l'avez vu) donc 13^3 divise x^3 et y^3
13^3 divise l'équation car 13^3 divise 0.
Par linéarité 13^3 divise 13*z^3 i.e 13^2 divise z^3.
Puis par gauss comme 13 premier, 13 divise z.
Dans le cas non homogène 13 divise z^3 - 1 seulement
@kangarsta,
Bonne préparation de rentrée, et bonne future cuisine.
Ne le fais pas trop bouillir quand même 
Bonjour,
désolé de l'absence, j'étais concentré sur les cours.
Finalement, c'était une erreur de l'enseignant.