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Equation du 3eme degré.

Posté par
woozyx 14-10-12 à 19:00

Bonsoir ,
Je suis bloquer sur un exercice , enfin je n'ai aucune indication a par :
Trouver une solution de l'équation x3-3x+1=0  
Je ne vois absolument pas comment faire sachant que je n'ai pas vu les equations du 3eme degré si quelqu'un pourrait m'expliquer la méthode pour résoudre.
Merci d'avance

Posté par
malou Webmasterre : Equation du 3eme degré. 14-10-12 à 19:05

Bonjour
ce serait pas avec le théorème des valeurs intermédiaires ? (après une petite étude de fct) ?

Posté par
fred1992re : Equation du 3eme degré. 14-10-12 à 19:06

Bonsoir woozyx.

Te demande-t-on de, déterminer une solution explicite de cette équation ou bien de montrer qu'il en existe une ?

Ou bien, t'indique-t-on une étape à suivre ?

Posté par
woozyxre : Equation du 3eme degré. 14-10-12 à 19:23

Non , je n'ai aucune autre explications a par ce que je vous ai indiquer , apparemment il faudrait utilisé U et V , je ne vois que cette solution en réfléchissant..

Posté par
fred1992re : Equation du 3eme degré. 14-10-12 à 19:25

Bonsoir M. malou au passage...

u et v ? Mékisaysa ?

Posté par
malou Webmasterre : Equation du 3eme degré. 14-10-12 à 19:25

si c'est la suite d'un exo, où on t'a fait faire ça, effectivement....

Posté par
woozyxre : Equation du 3eme degré. 14-10-12 à 19:28

C'est des petites lettres permettant de nous aider ( apparemment ) a résoudre cette équation !
en developant x3 = (u+v)3
J'avais un autre exercice ou il fallait faire comme sa , mais toute les étapes étaient détaillées..

Posté par
woozyxre : Equation du 3eme degré. 14-10-12 à 19:32

En effet je suis tête en l'air et j'avais oublier qu'il fallait changer le -3x en + 3x
Je ne sais pas si sa change grand chose ?

Posté par
fred1992re : Equation du 3eme degré. 14-10-12 à 19:41

M. malou est certainement plus apte que moi pour répondre à ceci.

L'équation x^3 + 3x + 1 = 0 possède une seule solution réelle et 2 solutions complexes conjuguées : mais aucune d'elle n'est évidente.

Il ne me semble pas qu'on apprenne en terminale à résoudre des équations de ce type, sauf si l'énoncé te demande d'appliquer une méthode particulière.


L'énoncé complet est simplement "Trouver une solution de l'équation x^3 + 3x + 1 = 0" ?

Posté par
dhaltere : Equation du 3eme degré. 14-10-12 à 19:45

Si on te demande les valeurs exactes, il s'agit d'appliquer la méthode de Cardan.

x³-3x+1=0
pose u+v=x
développe (u+v)³
regroupe les termes tu dois aboutir à
u³+v³+3(uv-1)(u+v)+1=0

alors tu imposes uv=1, ce qui te laisse
u³+v³+1=0
uv=1

multiplie la première par u³
u^6+(uv)³+u³=0
ce qui se simplifie en
u^6+u³+1=0

tu poses U=u³, il te reste une équation du second degré
U²+U+1=0

Posté par
woozyxre : Equation du 3eme degré. 14-10-12 à 20:12

D'accord ! Je pense avoir compris ! merci beaucoup pour votre aide , j'avais aussi poster ce poste https://www.ilemaths.net/sujet-sommes-et-produit-de-deux-nombres-512490.html#msg4325060 mais personne m'a repondu concretement en tout cas merci pour votre aide , bonne soirée a vous deux

Posté par
geo3re : Equation du 3eme degré. 14-10-12 à 21:11

Bonsoir
Que ce soit pour x³-3x+1 = 0 ou x³+3x+1=0 en imposant pour la 1ère uv =1 et pour la 2ème uv = -1  on trouve U²+U+1 = 0 pour la 1ère  et U²-U+1= 0 pour la 2ème ( en posant u³ =U); mais aucune des 2 équations en U n'admet une solution réelle alors qu'une  valeur approchée de x³+3x+1=0 est x = -0.3221853546
A+

Posté par
DHilbertre : Equation du 3eme degré. 14-10-12 à 21:14

Cf. ici demonstration formule de Cardan.

A +

Posté par
dhaltere : Equation du 3eme degré. 14-10-12 à 21:26

Merci à Geo3 et à DHibert

Allez, une petite correction

résoudre (P) : x³-3x+1=0

posons x=u+v
x³=(u+v)³=u³+3u²v+3uv²+v³=u³+v³+3uv(u+v)=u³+v³+3uvx

Alors (P) est équivalente à
u³+v³+3(uv-1)x+1=0

donc si on impose en outre uv=1, (P) se simplifie
u³+v³+1=0

En multipliant par u³ on obtient

u^6+u³v³+u³=0

or u³v³=(uv)³=1³=1

u^6+1+u³=0

et en posant U=u³ on obtient

U²+U+1=0

cette équation du second degré a deux solutions complexes conjuguées
U=\frac{-1+i\sqrt3}2
ou
U=\frac{-1-i\sqrt3}2

je retiens la première, mais tu vérifieras qu'en retenant la seconde on arrive au final aux mêmes solutions de (P)

U=\frac{-1+i\sqrt3}2 peut s'écrire (on a de la chance) sous forme trigonométrique

U=e^{i\frac{2\pi}3}

ce qui nous intéresse car maintenant la condition U=u³ va pouvoir s'exprimer facilement

on utilise traditionnellement les "racines cubiques de l'unité" :
1 \\ j=\frac{-1+i\sqrt3}2=e^{i\frac{2\pi}3} \\ j²=\bar j=\frac{-1-i\sqrt3}2e^{-i\frac{2\pi}3}

tu remarqueras, mais c'est un hasard, que les deux solutions de U²+U+1=0 sont j et j²

Pourquoi ce nom, "racines cubiques de l'unité" ? parce que j³=1 (tu vérifieras)

alors soit u=e^{i\frac{2\pi}9}
on a u³=U, (ju)³=U, (j²u)³=U
ce sont les trois solutions de l'équation u³=U

et puisque on doit avoir uv=1, x=u+v, voici toutes les solutions de x³-3x+1=0

\begin{array}{|c|c|c|} \hline u & v & x \\\hline e^{i\frac{2\pi}9} & e^{-i\frac{2\pi}9} & e^{i\frac{2\pi}9}+e^{-i\frac{2\pi}9} \\\hline je^{i\frac{2\pi}9} & j²e^{-i\frac{2\pi}9} & je^{i\frac{2\pi}9}+j²e^{-i\frac{2\pi}9} \\\hline j²e^{i\frac{2\pi}9} & je^{-i\frac{2\pi}9} & j²e^{i\frac{2\pi}9}+je^{-i\frac{2\pi}9} \\\hline \end{array}
Equation du 3eme degré.
on remarque que malgré leur expression complexe, ces trois solutions sont réelles.

Posté par
dhaltere : Equation du 3eme degré. 14-10-12 à 21:30

en effet, nous avons
e^{i\frac{2\pi}9}+e^{-i\frac{2\pi}9}=2cos(\frac{2\pi}9)

je^{i\frac{2\pi}9}+j²e^{-i\frac{2\pi}9}=2cos(\frac{8\pi}9)

j²e^{i\frac{2\pi}9}+je^{-i\frac{2\pi}9}=2cos(\frac{4\pi}9)

Posté par
woozyxre : Equation du 3eme degré. 14-10-12 à 21:33

D'accord merci a tous d'avoir pris du temps pour me répondre , cela va maintenant me permettre de repondre a l'exercice d'apres plus general x3 = px + q !
Bon dimanche


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