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Niveau Maths sup
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équation du troisième degré

Posté par (invité) 17-09-03 à 19:04

Bonjour
Je suis bloqué sur un exo sur une équation du troisième degré. Est-ce
que quelqu'un pourrait m'aider????

Soit à résoudre l'équation du troisième degré:az^3+bz²+cz+d=0
1.Montrer qu'un chgmt d'inconnue z=Z+H permet, par un choix convenable
de h, de se ramener à une équation de la forme:Z^3+pZ+q=0 (2)
2.Montrer que pour tout Z appartenant à C, il existe des complexes u et v tels
que Z=u+v et 2uv+p=0
3.Donner alors une condition nécessaire et suffisante sur u et v pour que
Z soit solution de (2). Calculer u^3 et v^3, en déduire u et v

Pour la première question, il n'y a pas de problème, mais c'est
à partir de la 2ème question que ça coince...en fait je ne sais pas
du totu comment m'y prendre..
Merci d'avance

Posté par (invité)équation du troisième degré 17-09-03 à 19:43

Bonjour
Je suis bloqué sur un exo sur une équation du troisième degré. Est-ce
que quelqu'un pourrait m'aider????

Soit à résoudre l'équation du troisième degré:az^3+bz²+cz+d=0
1.Montrer qu'un chgmt d'inconnue z=Z+H permet, par un choix convenable
de h, de se ramener à une équation de la forme:Z^3+pZ+q=0 (2)
2.Montrer que pour tout Z appartenant à C, il existe des complexes u et v tels
que Z=u+v et 2uv+p=0
3.Donner alors une condition nécessaire et suffisante sur u et v pour que
Z soit solution de (2). Calculer u^3 et v^3, en déduire u et v

Pour la première question, il n'y a pas de problème, mais c'est
à partir de la 2ème question que ça coince...en fait je ne sais pas
du totu comment m'y prendre..
Merci d'avance

*** message déplacé ***

Posté par zlurg (invité)re : équation du troisième degré 18-09-03 à 02:36

ya une erreur dans ton énoncé !
c'est pas 3uv+p=0 au lieu de 2uv + p ?
Après tu as u^3+v^3=-q  et  uv=-p/3
soit u^3+v^3=-q   et  (u^3)*(v^3)=-p^3/27
Qu'on résout comme X+Y=-q  ; X*Y = -p^3/27

Posté par g (invité)re : équation du troisième degré 18-09-03 à 13:12

c'est un exercice mathematique classique basé sur la logique:
pour montrer que u et v existe tu doit les calculer c'est adire
résoudre le systeme:
Z=u+v
2uv+p=0

ca donne v=Z-u
et 2u(Z-u)+p=0
2uZ-2u2+p=0
cette equation du second degré en u à deux solutions u1 et u2 (que tu calcule
avec un delta classique)
On en deduit qu'il existe deux complexes v possible:
v1=Z-u1
et v2=Z-u2

Ainsi pour Z donné il exite par exemple (u1,v1) et/ou (u2,v2) qui satisfont
les deux relations
PS: tu as demontré qu'il y a avait exactement deux couples qui marchent
alors qu'on demandait juste de demontrer qu'il y en avait
au moins 1


pour la 3) on remplace Z par u+v:
Z3+pZ+q=0
(u+v)3+p(u+v)+q=0
u3+v3+3u2v+3uv2 +pu+pv+q=0
ou on peut, on remplave uv par -p/2 car 2uv+p=0

On simlifie et on va vers la condition demandée
A+

*** message déplacé ***



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