salut

f(f(x) + 3y) = f(3x + 3y) = 9x + 9y

12x + f(f(y) - x) = 12x + f(3y - x) = 12x + 9x - 3x = 9x + 9y

donc f(x) = 3x est solution ...

Re bonjour  carpe diem
J'avais déjà trouvé que f(x)=3x était une solution (à la fin de mon post) mais je cherche à prouver que c'est la seul solution ou bien qu'il y en a d'autres
Merci quand même 😃
Totode2

non tu as écrit ::

bonsoir,
il me semble que convient aussi

Merci veleda
Il faut maintenant que je le prouve ^^

Et excuse moi carpe diem je voulais dire que je ne savais pas comment arriver à f(x)=3x.
mais je savais comment prouver que c'était une solution...

no problemo ...

je dois t'avouer que pour l'instant je ne voir rien non plus ...

elle est bien compliquée cette équation différentielle ....

le classique est d'essayer des valeurs particulières (x = 0 ou y = 0 ou autre) mais ici rien de bien concluant ...

et je ne vois pas grand chose d'autre avec ces composées de f ....

Bonjour,

Je peux résoudre cette équation fonctionnelle en supposant la fonction f continue.
En remplaçant simultanément x par y et y par -x/3 on obtient:
f(f(y)-x) = 12y + f(f(-x/3) - y)
On reporte ensuite dans l'équation de départ puis on pose y=-x.
Cela entraine que la fonction définie par g(x)=f(f(x)-3x) vérifie g(x)=g(-x/3).
Avec la continuité (en 0) on en déduit que g est constante.

Soit h(x)=f(x)-3x. Elle est continue et vérifie f(h(x))= C (constante).
Si h()= on en déduit que f est constante: contradiction avec l'équation fonctionnelle.
Si h()=[a,+[ on en déduit pour xa : 3x+aC d'où une contradiction.
De même si h()=]-,a].
Enfin si h()=[a,b] on déduit pour x=a puis x=b: a+3bCb+3a d'où a=b.
h est donc constante.

Merci jandri!

Bon dimanche ,bon solstice,

La fonction recherchée   f : R ->R telles que f(f(x) + 3y) = 12x + f(f(y) - x) pour tous x, y .


Une remarque :
l'égalité des arguments f(x) + 3y =f(y) - x  correspond donc à  x=0  et permet
de faire baisser le degré  de l'équation de f o f   à  f  ,nous avons donc :
  

Un martien




j

Bonjour,


Là,je ne suppose exactement rien,

   ,alors ...

Alain

Bon. Alors je n'ai pas vu exactement ton point de départ !
Qui est u ?
Tu semblais dire : je fais dans

J'ai simplifié un peu ma démonstration (en supposant f continue).
Au lieu de poser y=-x je pose y=(f(-x/3)-f(x))/4.
On en déduit f(-x/3)+x=f(x)-3x d'où l'on déduit que h(x)=f(x)-3x est constante (car continue).

Bonjour jandri et merci pour tes précisions mais je pense avoir compris ta démonstration initiale !

luzak @ 20-12-2015 à 13:08

Bon. Alors je n'ai pas vu exactement ton point de départ !
Qui est u ?
Tu semblais dire : je fais dans

Bonjour luzak,

J'avais bien compris que le message s'adressait à alainpaul.
Mais en cherchant à montrer que f est injective (sans utiliser la continuité) j'ai trouvé une (petite) simplification dans ma démonstration et c'est ce que j'ai proposé.
Je cherche encore une démonstration qui n'admet pas la continuité de f.

Je pense que mon exercice utilisait une fonction continue mais tu peux chercher quand même jandri^^

Bonsoir ,

A Luzak
***********

L'hypothèse en suspens est :

  itou pour tout y,
u  étant la valeur commune des arguments.  



Et donc   ,ce qui nous donne:



...

L'hypothèse  est vérifiée par la fonction trouvée f(y)=3x,

Alain

Désolé mais je ne vois toujours pas ! En remplaçant (j'ai peut-être tort) ta "|" par une parenthèse ouvrante, ton jeu de quantificateurs suppose-t-il surjective ?
Sinon je ne vois pas comment trouver (tu dis bien "il existe" ) quand est donné (tu dis bien "pour tout " ).

En admettant l'existence de je comprends la suite.

Je veux bien y réfléchir encore mais tu as l'air de trouver cela si évident...

Bonjour,

Je tiens à cette solution ,elle est assez générale et permet de simplifier
l'expression à résoudre :l'application f n'intervient plus alors qu'une seule fois
dans une équation plus simple.

Tu as raison de te poser des questions sur la nature de l'hypothèse à poser.

Peut-être la continuité de f suffit-elle...

Pourrait -on dire qu'à posteriori la fonction trouvée satisfait les conditions posées?

Merci,de ton intérêt ,

Alain

Bonjour !
Si j'ai bien compris ta démarche :
Tu fais une hypothèse (H) à partir de laquelle tu trouves une fonction qui vérifie (H). Cela ne prouve pas que (H) est vraie : tu ne peux prétendre avoir toutes les solutions, ce qui était le but.

Bon,

Je fonctionne intuitivement ,la résolution de ce type d'équation passe très souvent
par une simplification ,

OK,je n'ai pas démontré que mon hypothèse était vraie ,j'ai 'des raisons' de le penser:
f est continue et les variables x et y sont indépendantes,

Alain

Again

Je permets  d'insister :
ou    ne pose aucun problème  particulier avec x et y indépendantes et    f : R-> R  continue ,

Alain

Je ne vois pas en quoi continuité et "variables indépendantes" enlèvent tout problème ?

Si tu as simplifié "f(f(u))=f(f(v))" en "f(u)=f(v)", à mon avis tu as utilisé l'injectivité de "f" sans le dire !

Bon après-midi,

Je n'ai pas simplifié par f .

Soit           

L'égalité des arguments  u et v ,correspond  bien à 12x=0 ,x=0
soit

Raté-je quelque chose?

Alain

Il y a deux façons de lire ce que tu écris :
En faisant on obtient .  Jusque là on est bien d'accord.
C'est le passage de à qui est utilisation implicite de " injective".

Ou alors tu as dit "j'ai  " donc donc : on est d'accord aussi.
Mais, dans ce dernier cas, tu n'as pas démontré l'égalité de : c'est ton hypothèse !

So,

u=v , comment attaquerais-tu cette hypothèse ?  

Merci,

Cette approche me semble fructueuse et de 'transportable' ,

Alain

Ben justement, je n'en sais rien ! Ce qui explique mes demandes répétées.

Bonjour,

Désolé,je suis parti d'une idée personnelle  mais ne peux rien
te dire de plus;aussi comptais-je sur plus 'calé' que moi pour l'assoir.

Je ne vois pas très bien sur quels ressorts s'appuie la démonstration de
Jandri,

Alain

Bonjour !
Dans ses deux démonstrations (la deuxième est plus simple à écrire) Jandri utilise une relation vérifiée pour tout : .
Alors, par récurrence, pour on a . Puis il dit que si est continue en 0, par limite en .

en espérant ne pas avoir dénaturé son idée !

Bonjour,

D'accord,nous avons là une méthode assez classique qui suppose une
continuité  en 0 .


Alain

A Lusak:
Merci d'avoir (bien) répondu à ma place.
La relation utilisée est u(x)=u(-x/3) mais cela revient au même.

A Alainpaul:
Effectivement cela n'utilise que la continuité en 0 de la fonction f.

Bonjour,

Dans ce type d'équation fonctionnelle,la difficulté majeure est de montrer
la généralité de la solution sur R  pour f de nature donnée (continue,monotone,R->R ...).

D'autres approches possibles ,parité,homogénéité (ici degré=1) ,séparations des
variables: ,itération ...

Une piste que j'ai travaillée est celle de 'stabilité de forme';dans notre cas
la fonction  possède une forme  'stable' pour les opérations f   ,f(cx), f+d,  kf  c'est-à-dire  toutes celles réalisées dans l'équation fonctionnelle donnée  ,

Alain

Bonjour,

Merci de ne plus répondre. Cet exercice vient d'un entraînement d'olympiades toujours en cours dont les participants risquent d'arriver ici... Voilà le lien:http://www.animath.fr/IMG/pdf/ofm-2015-2016-envoi3.pdf

Merci

Lucildo, profil 3e ?
après....chacun est libre...animath n'est pas sans savoir que les forums d'aide sont légion...et chaque candidat ne trompe que lui-même....

Oui, pourquoi?

C'est dommage pour lui mais surtout pour ceux qui participent et qui tombent par hasard sur ce forum, comme moi d'ailleurs...

Bonjour,


Je souhaite revenir sur la voie que je proposais:

    ,

Il me semble que poser l'égalité des arguments u=v  n'impose aucune condition
supplémentaire sur la fonction f ,celle-ci est continue R -> R  (donc en 0 aussi),les variables étant 'indépendantes'.

J'ajoute donc cette méthode à mon catalogue "Equations fonctionnelles".

Alain
étant séparées et que donc