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Equation fonctionnelle

Posté par
LUCIFERUS 07-04-23 à 16:11

bjr besoin d'aide svp
f:R^+\rightarrow R^*_+  \ telle \  que  f\left(0 \right)=1 \et \ \frac{1}{2}\int_{0}^{x}{f^2\left(\theta  \right)}d\theta =\frac{1}{x}\left(\int_{0}^{x}{f\left(\theta \right)}d\theta\right)^2

Posté par
LUCIFERUSre : Equation fonctionnelle 07-04-23 à 16:12

excuser il s'agit de trouver toutes les fonctions telles que

Posté par
carpediemre : Equation fonctionnelle 07-04-23 à 16:47

salut

énoncé pas clair : entre ce 1 et 1/2 y a-t-il un point ? un "et" ?

Posté par
LUCIFERUSre : Equation fonctionnelle 07-04-23 à 16:49

carpediem @ 07-04-2023 à 16:47

salut

énoncé pas clair : entre ce 1 et 1/2 y a-t-il un point ? un "et" ?

un "et" desole

Posté par
Creire : Equation fonctionnelle 08-04-23 à 00:14

J' Essaie de derivé l'expression qu'on 'a donné , et j' exprime f en fonction de l'integrale. À l'aide d'une factorisation, . Ensuite j'applique l'inegalité de la moyenne et je trouve que f(0)#1.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Equation fonctionnelle 08-04-23 à 00:46

Bonsoir

Une fonction continue f:\mathbb R^+\to\mathbb R_+^* telle que \Large\frac{1}{2}\int_0^xf^2(t)dt=\frac{1}{x}\left(\int_0^xf(t)dt\right)^2

vérifie nécessairement \Large f(0)=0 (sauf erreur de ma part bien entendu)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Equation fonctionnelle 08-04-23 à 01:11

il doit donc y avoir une erreur d'énoncé !

Par exemple (sauf erreur ) la fonction \Large x\mapsto x^{1+\sqrt2} vérifie l'équation fonctionnelle en question !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Equation fonctionnelle 08-04-23 à 07:21

Bonjour,
De toutes façons, il manque quelque chose :
Pour quelles valeurs de x l'égalité doit être vérifiée.
Avec 1/x dans le second membre, c'est sans doute pour tout x >0.
Ce serait étonnant que l'énoncé ne le précise pas.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Equation fonctionnelle 08-04-23 à 12:13

On peut poser le problème d'une manière un peu plus générale en cherchant toutes les fonctions continues :

\Large\boxed{f:]0,+\infty[\to]0,+\infty[~~;~~\forall x>0~,~\frac{1}{2}\int_0^xf^2(t)dt=\frac{1}{x}\left(\int_0^xf(t)dt\right)^2}

(où les deux intégrales peuvent être impropres pour la borne 0 mais sont toutes les deux convergentes)


Analyse :


\bullet Pour f (solution du problème) notons F et G (respectivement) les deux primitives de f et f^2 sur \mathbb R_+ qui s'annulent en 0.


\bullet On a donc \Large\blue\boxed{\forall x>0~,~2F^2(x)=xG(x)}.


\bullet D'où en dérivant, \Large\boxed{\forall x>0~,~4f(x)F(x)=G(x)+xf^2(x)}.


\bullet Qui s'écrit aussi, \Large\boxed{\forall x>0~,~f^2(x)-4\frac{F(x)}{x}f(x)+\frac{G(x)}{x}=0}.


\bullet Ou encore, \Large\boxed{\forall x>0~,~\left(f(x)-2\frac{F(x)}{x}\right)^2=\frac{4F^2(x)-xG(x)}{x^2}=\frac{2F^2(x)}{x^2}}.


\bullet D'où (pour des raisons de continuité ) les deux seules éventualités :


\Large\boxed{\forall x>0~,~f(x)-2\frac{F(x)}{x}=\frac{\sqrt2F(x)}{x}} ou \Large\boxed{\forall x>0~,~f(x)-2\frac{F(x)}{x}=-\frac{\sqrt2F(x)}{x}}.


\bullet Une petite résolution de deux équations différentielles linéaires (homogènes) du premier ordre donne alors :


\Large\boxed{\forall x>0~,~F(x)=Kx^{2+\sqrt2}} ou \Large\boxed{\forall x>0~,~F(x)=Kx^{2-\sqrt2}} (où K est une constante réelle arbitraire strictement positive).


Synyhèse :


\bullet On vérifient (assez facilement) que les fonctions :


\Large\red\boxed{\forall x>0~,~f(x)=Kx^{\sqrt2+1}} et \Large\red\boxed{\forall x>0~,~f(x)=\frac{K}{x^{\sqrt2-1}}} (où K est une constante réelle arbitraire strictement positive)


sont bien solutions du problème.


Remarque :


\bullet Seules les premières sont prolongeables par continuité en 0 en posant \Large f(0)=0. sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
carpediemre : Equation fonctionnelle 08-04-23 à 13:14

ouais !! ça fait beaucoup de conditions rajoutées à l'énoncé initial ...

c'est pourquoi je n'avais pas insisté même si j'avais eu la même idée initiale que elhor_abdelali ... mais j'avoue que je ne sais pas si je serai arrivé jusqu'au bout et aussi proprement que lui !!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Equation fonctionnelle 08-04-23 à 13:54

carpediem

Posté par
LUCIFERUSre : Equation fonctionnelle 08-04-23 à 18:08

Merci beaucoup a tous. L'enonce ne comporte pas d'erreur mais il n'existe aucune fonction continue respectant les conditions imposes.j'en etait arrive a cette conclution en derivant la relation et en utilisant la premier formule de la moyenne.merci infiniment

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Equation fonctionnelle 08-04-23 à 18:53

C'est un plaisir LUCIFERUS


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